He aquí una pregunta que me hice (y no pude responder) mientras leía "La topología de los espacios de funciones racionales", de G. Segal.
Sea $X$ sea una curva compleja completa suave (=una superficie de Riemann compacta) de género $g$ y que $Rat(X,d)$ sea el espacio de todos los mapas regulares (=holomorfos) de $X$ a $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ de grado $d$ . En esta pregunta estoy interesado en el grupo fundamental del subconjunto abierto $U(X,d)$ de $Rat(X,d)$ formado por todos $f$ tal que todos los puntos críticos de $f$ son simples y todos los valores críticos son distintos. (Un punto crítico es un punto en el que la derivada de $f$ desaparece; un valor crítico es la imagen de un punto crítico). Para ser más concretos, digamos que me gustaría
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encontrar un "buen" sistema de generadores de $\pi_1(U(X,d))$ ;
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para describir, para cada uno de estos generadores, su imagen bajo el mapa inducido por el mapa $G$ de $U(X,d)$ al espacio de configuración $B(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}),k)$ de subconjuntos desordenados de $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ de cardinalidad $k=2(d+g-1)$ que lleva $f$ a su divisor de rama (es decir, el divisor de los puntos críticos).
He aquí algunas observaciones que pueden ser útiles (o no):
En primer lugar, se puede pensar en el grupo fundamental de $Rat(X,d)$ . Asociando a cada función su divisor de polos obtenemos un mapa $F$ de $Rat(X,d)$ a la $d$ -ésima potencia simétrica $S^d(X)$ de $X$ .
Supongamos que $d> 2g-2$ . Por el teorema de Riemann-Roch, para cualquier grado $d$ divisor $D$ el espacio lineal ${\cal{L}}(D)=H^0(X,{\cal{O}}(D))$ (que está formado por todas las funciones racionales $f$ tal que para cualquier $x\in X$ el orden del polo de $f$ en $x$ es como máximo la multiplicidad de $x$ en $D$ ) es $d-g+1$ . Así que $F$ es suryectiva y una fibra de $F$ es $\mathbf{C}^{d-g+1}$ menos cierto número de hiperplanos (éstos vienen dados por la condición de que ordene el polo de $f$ en un punto $x$ de $D$ es menor que la multiplicidad de $x$ en $D$ ).
El mapa $F$ probablemente no sea una fibración. Sin embargo, el grupo fundamental de $Rat(X,d)$ se extiende por los bucles de una fibra general de $F$ alrededor de uno de los hiperplanos, y los ascensores de los bucles en $S^d(X)$ (todas son de la forma "uno de los puntos se desplaza a lo largo de un bucle en $X$ y el otro permanece inmóvil").
En segundo lugar, recordemos que el jacobiano $J(X)$ de $X$ se define del siguiente modo. La integración a lo largo de los ciclos da un mapa inyectivo $H_1(X,\mathbf{Z})\to\mathbf{C}^g=Hom(H^0(X,\Omega_X),\mathbf{C})$ y el jacobiano de $X$ es el cociente. Además, una vez elegido un punto base $x$ en $X$ obtenemos un mapa natural $j:X\to J(X)$ definida del siguiente modo: para cualquier $x'\in X$ tomar un camino $\gamma$ de $x$ a $x'$ y establece $j(x')$ sea la imagen en $J(X)$ de la "integración a lo largo $\gamma$ función". Se trata de un mapa bien definido que puede ampliarse mediante $\mathbf{Z}$ -linealidad a $S^d(X)$ .
El teorema de Abel dice que dos divisores efectivos disjuntos son los divisores de los ceros y los polos de una función racional si y sólo si sus imágenes bajo $j$ coinciden. Esto puede ser útil en este problema, pero no veo cómo.
