Todos los textos que he leído sobre las pruebas de independencia en teoría de conjuntos consideran varios tipos de construcciones por separado, como los modelos con valores booleanos (equivalentes a forzar sobre posets), los modelos de permutaciones y los modelos simétricos. Sin embargo, los análogos topos-teóricos de estas nociones -a saber, topoi de gavillas sobre locales, acciones continuas de grupos y combinaciones de ambos- son todos casos especiales de una noción, a saber, el topos de gavillas sobre un sitio. ¿Existe alguna construcción directa, en el mundo clásico de la teoría de conjuntos basada en la pertenencia, de un "modelo de forzamiento" relativo a un lugar arbitrario?
Respuestas
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Que yo sepa, esto nunca se ha descrito "oficialmente" en la literatura de teoría de conjuntos. Así lo describen Blass y Scedrov en Los modelos de Freyd para la independencia del axioma de elección (Mem. Amer. Math. Soc. 79, 1989). (Por supuesto, está implícito y a veces explícito en la literatura sobre topoi; por ejemplo, Mac Lane y Moerdijk hacen una buena parte de la traducción en Láminas en geometría y lógica .) Sin duda, hay un puñado de teóricos de conjuntos que son muy conscientes de la generalización y de su potencial, pero sólo he visto unos pocos casos de cruce. En mi humilde opinión, la falta de tales cruces es un grave problema (para ambas partes). Para ser justos, hay algunos obstáculos importantes más allá de las obvias diferencias lingüísticas. El más importante es el hecho de que la teoría clásica de conjuntos es en gran medida una teoría clásica, lo que significa que la topología de doble negación en un sitio es, hasta cierto punto, la única que tiene sentido para utilizar la teoría clásica de conjuntos. Por otro lado, aunque muy importante, la topología de doble negación no suele ser un punto central en la teoría de topos.
Gracias a los comentarios de Joel Hamkins, parece que hay una obstrucción aún más grave. A la vista de los principales resultados de Grigorieff en Submodelos intermedios y extensiones genéricas en la teoría de conjuntos Ann. Math. (2) 101 (1975), parece que los posets forzantes son, hasta la equivalencia, precisamente los sitios pequeños (con la topología de doble negación) que preservan el axioma de elección en la extensión genérica.
tekknolagi
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En http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/forcizf.pdf se puede encontrar un artículo que describe una semántica de forzamiento para IZF en las topos de Grothendieck Sh(C,J) en términos del sitio (C,J) donde C es una topología de Grothendieck en una categoría pequeña C.
Como se menciona en el documento para el caso de topos presheaf esto ya fue hecho por D. Scott antes. En mi interpretación forzada, los "nombres" de los conjuntos proceden de la jerarquía acumulativa en el topos de preseaf. La sheafificación está incorporada en las cláusulas de la semántica de forzamiento. Instanciando C por un poset se obtienen los "nombres" habituales y al tomar por J la topología de topología de doble negación en C obtenemos el forzamiento de Cohen.
En este contexto, puede que merezca la pena mencionar que el Grothendieck booleano son precisamente subtopos de topos de preseaf a través de la topología de la doble negación. Esto se debe a Freyd y también se describe en la Memoria de la AMS de Blass y Scedrov. En este folleto relacionan los modelos de Freyd que refutan AC con los modelos más tradicionales de valor booleano simétrico empleados por Cohen para refutar el AC (incluso contable). El primer modelo de Freyd coincide con el ideado por Cohen, pero el segundo modelo de Freyd no se había considerado antes en la literatura teórica de conjuntos.
En este contexto cabe mencionar el famoso resultado de Peter Freyd de que todo topos de Grothendieck aparece como una variedad exponencial dentro de un topos booleano sobre el topos de Schanuel (el modelo genérico de permutaciones utilizado por A. Pitts en su trabajo sobre "Conjuntos nominales"). Así que los topos de Grothendieck no son tan diferentes de los modelos de la teoría de conjuntos...
Thomas
P.D. Mi artículo anterior ha aparecido en el Festschrift de mi viejo amigo Mamuka Jibladze.
Randy Proctor
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2331
¿Conoce este documento : Relacionar teorías de conjuntos de primer orden y topos elementales de Awodey,Butz,Simpson y Streicher. No he leído en detalle todavía, pero realmente parece proporcionar una maquinaria que responder a su pregunta.
También añadiría que si esa teoría "general" no se ha desarrollado mucho es porque (es mi opinión personal) sería esencialmente inútil:
Para los teóricos de modelos, debido a los diversos teoremas de representación para topos y topos booleanos, se sabe que todo modelo eventual de teoría de conjuntos que se pueda obtener de esta manera se puede obtener tomando primero un modelo de permutación y luego tomando un modelo booleano valorado dentro de él. Lo que quiero decir es que cualquier topos de Grothendieck booleano es localico sobre el grupo clasiforme de un grupo topológico pro-discreto, y aún peor, cualquier topos de Grothendieck que satisfaga el axioma de elección admite un recubrimiento etale por un local booleano.
Y para los teóricos de topos, bueno, la principal diferencia entre un modelo de teoría de conjuntos y un topos es la posibilidad de comparar dos objetos arbitrarios para la relación de pertenencia, y apenas veo cómo esta característica puede ser relevante para la teoría de topos.
