Partición en matriz de bloques

Question

Si

$$A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$$

es una partición de $A$ tal que $A_{11}$ y $A_{22}$ son $r \times r$ y $(n r) \times (n r)$ respectivamente, entonces

$$\det(A) \leq \det(A_{11}) \cdot \det(A_{22})$$

con igualdad si y sólo si $A$ es diagonal de bloque,

Pista: Utilice $\det(A+B)^{\frac{1}{n}} \geq \det(A)^{\frac{1}{n}} + \det(B)^{\frac{1}{n}}$ con

$$B=\begin{bmatrix} A_{11} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{22} \\ \end{bmatrix}$$

¿Por qué $B$ ¿positiva definida?

Answer 1

No es verdad. Considere, por ejemplo $n=2r$ y $A=\pmatrix{0&-I_r\\ I_r&0}$ .

Edita. Si $A$ es definida positiva, la desigualdad en cuestión es cierta. Para demostrarlo, se puede aplicar la otra desigualdad --- conocida como Desigualdad de Minkowski --- en la pista. La desigualdad de Minkowski requiere que ambos $A$ y $B$ son definidos positivos. Sea $D=D^T=\operatorname{diag}(I_r,-I_{n-r})$ y $B=D^TAD$ . Entonces $A+B=2\,\operatorname{diag}(A_{11},A_{22})$ . Como pide la pista, tienes que explicar por qué $B$ es positiva definida (en realidad hay que explicar por qué $A+B$ también es definida positiva). Aplicando la desigualdad de Minkowski, el resultado es inmediato.