Hall cuando el subgrupo es cíclico?

Question

¿Alguien conoce la fórmula de un polinomio de Hall $g_{u,v}^{\lambda}(p)$ cuando $v$ es el tipo de subgrupo cíclico (es decir. $v=(v_{1})$ ) . http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_algebra

Esperaba que este caso en particular fuera lo suficientemente sencillo de describir .

Answer 1

Digamos que quieres calcular el polinomio Hall $g^\lambda_{(r),\mu}(p)$ . Según [Dutta y Prasad, Degeneraciones y órbitas en grupos abelianos finitos ] las órbitas bajo el grupo de automorfismo de un grupo abeliano finito vienen dadas por $\{O_I|I\subset J(P_\lambda)\}$ où $J(P_\lambda)$ denota la red de ideales de orden en un determinado poset $P_\lambda$ . En el mismo documento también se da una fórmula para $|O_I|$ .

Claramente, el polinomio de Hall que buscas es $(p^r-p^{r-1})^{-1}\sum_{I} |O_I|$ siendo la suma sobre todos $I$ para el que el orden de un elemento en $O_I$ est $p^r$ y para el que el cociente del grupo de tipo $\lambda$ por cualquier elemento de $O_I$ es del tipo $\mu$ . Como señala David Speyer en los comentarios a una versión anterior de esta respuesta, $I$ está determinada de forma única por estas condiciones. Así que una forma final de la respuesta se obtiene explicando cómo obtener $I$ de $\lambda$ y $\mu$ .

Dado un elemento $(p^{v_1},p^{v_2},\dotsc)$ el tipo del cociente se halla calculando la forma canónica de Smith de la matriz $\begin{pmatrix} p^{\lambda_1} & & &\\ & p^{\lambda_2} & &\\ & & \ddots & \\& & &p^{\lambda_l}\\ p^{v_1} & p^{v_2} & \cdots & p^{v_l} \end{pmatrix}$ .

Por la caracterización de los ideales de orden en $P_\lambda$ tenemos que $v_i\leq v_{i-1}\leq v_i+(\lambda_{i-1}-\lambda_i)$ .

Proposición. Sea $I\subset P_\lambda$ sea un ideal de orden. Sea $\mu$ es el tipo del grupo obtenido al modular un elemento de $O_I$ . Entonces

$\mu_l=v_l$

$\mu_{l-1}=\lambda_l+v_{l-1}-v_l$

$\mu_{l-2}=\lambda_{l-1}+v_{l-2}-v_{n-1}$

$\vdots$

$\mu_{i}=\lambda_{i+1}+v_i-v_{i+1}$

$\vdots$

$\mu_1=\lambda_2+v_1-v_2$ .

Prueba. El gcd de $i\times i$ menores de la matriz anterior se puede ver que son $v_{l-i+1}+\lambda_{l-i+2}+\dotsb+\lambda_l$ (utilizando las desigualdades en $v_i$ ). Por lo tanto, obtenemos $\mu_{l-i+1}+\dotsb+\mu_l=v_{l-i+1}+\lambda_{l-i+2}+\dotsb+\lambda_l$ de donde se deducen las identidades anteriores.QED.

Esto nos permite recuperar $(v_1,v_2,\dotsc)$ una vez que sepamos $\lambda$ y $\mu$ donde (esto también se deduce de la proposición anterior), $\mu$ es una partición obtenida a partir de $\lambda$ eliminando una franja horizontal de longitud $r$ . En particular, $v$ está determinada de manera única por $\lambda$ y $\mu$ .

Obtenemos

$v_l=\mu_l$ et $v_i=\mu_i-[(\lambda_{i+1}+\dotsb+\lambda_l)-(\mu_{i+1}+\dotsb+\mu_l)]$ para $i<l$ .

Sea $I\subset P_\lambda$ sea el ideal de orden definido por $(v_1,v_2,\dotsc)$ . Obtenemos

$g^\lambda_{(r)\mu}(p)=|O_I|/(p^r-p^{r-1})$ .

Se deduce fácilmente (de la fórmula para $|O_I|$ en nuestro documento, que dice que $|O_I|$ es un polinomio mónico en $p$ de grado $\sum_i (\lambda_i-\nu_i)$ ) que $g^\lambda_{(r)\mu}(p)$ es mónico en $p$ de grado $n(\lambda)-n(\mu)$ . Esto quizás podría dar otra aproximación al teorema de Hall (por analogía con la prueba que dio MacDonald).

Answer 2

Pondré lo que he averiguado. Ejemplo 2.4 de Schiffman Conferencias sobre álgebras de Hall indica cómo multiplicar por la partición $1^r$ . Es una generalización de la regla de Pieri. Si establecemos $p=1$ existe una simetría del anillo de polinomios simétricos que envía una partición a su transpuesta, por lo que podemos transponer esta fórmula. Pero no sé si existe una simetría análoga para los polinomios de Hall. (El anillo de polinomios de Hall tiene una antípoda, que moralmente debería hacer esto, pero no he podido encontrar una declaración de si lo hace en una búsqueda rápida).

La fórmula para multiplicar por $1^r$ también aparece como Lemma 2.4 de este documento . Según esto, la fórmula aparece en la página 341 del libro de Macdonald. No tengo el libro disponible, pero si lo tuviera miraría allí para ver si también aparece la fórmula de transposición.

Por último, comparto tu intuición de que este cálculo debería poder hacerse a mano. Si yo fuera tú, miraría la prueba de Schifman y vería si puedo adaptarla.