Dar sentido a $ f(y) - f(x) = \int_{\tau = 0}^{1} \langle \nabla f( x+ \tau (y - x)), y - x \rangle d \tau $

Question

Me preguntaba si alguien tiene una buena explicación de por qué esto es así. Me encontré con esto en la página 17 de este documento (ecuaciones al final de la página): $$ f(y) - f(x) = \int_{\tau = 0}^{1} \langle \nabla f( x+ \tau (y - x)), y - x \rangle d \tau $$

Esto es lo que yo entiendo, pero conduce a una forma diferente, que es diferente de la anterior: Dada una función, la siguiente es la aproximación lineal de $f(y)$ utilizando la información del punto $z$ : $$ f(y) \approx f(z) + \langle \nabla f(y), y - z \rangle $$ Supongamos ahora que queremos utilizar infinitas aproximaciones lineales para crear una aproximación suave para nuestra función deseada $f$ . Supongamos que este punto es $z = x + \tau (y - x)$ . Básicamente, cuando $\tau$ cambia de cero a uno, el punto $z$ pasa de $x$ hacia $y$ . El resultado sería el siguiente: $$ f(y) = \int_{\tau = 0}^{1} f(x + \tau (y - x)) + \langle \nabla f( y), (1-\tau)(y - x) \rangle d \tau $$ que parece muy diferente de lo que pretendía demostrar.

Answer 1

El resultado deseado se obtiene si se aplica el teorema fundamental del cálculo a la función $$ g(t) = f\bigl(x + t(y - x)\bigr), $$ desde $$ g'(t) = \langle \nabla f\bigl(x + t(y - x)\bigr), y - x\rangle $$ por la regla de la cadena.