Es $\{(x,y) \mid (\exists f\in \operatorname{Homeo}(X))(f(x)=y)\}$ ¿Cerrado?

Question

Sea $(X,\mathcal T)$ sea un espacio topológico de Hausdorff y $A$ sea el conjunto de todos $(x,y)\in X^2$ para la que existe un homeomorfismo $f:X\to X$ tal que $f(x)=y$ . Es $A$ ¿Cerrado?

EDITAR: Creo que $$A=\bigcup_{f\in \operatorname{Homeo}(X)}f$$

Answer 1

Considere $X=[0,1]$ con la topología habitual heredada del valor absoluto.

Por cada $n\geq 2$ es fácil construir un homeomorfismo afín a trozos $f_n$ de $[0,1]$ sobre sí misma de forma que $$ f_n\left( \frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{n}. $$ Así que los puntos $(1/2,1-1/n)$ pertenecen a $A$ y convergen a $(1/2,1)$ en $[0,1]^2$ . Ahora bien, si hubiera un homeomorfismo $f$ de $X$ sobre sí misma de forma que $f(1/2)=1$ tendríamos $$ [0,1]\setminus \{1/2\}=f^{-1}([0,1)). $$ La lhs está desconectada, mientras que la rhs está conectada. Contradicción. Así que $(1/2,1)$ no pertenece a $A$ . Por lo tanto $A$ no está cerrado.