Teorema fundamental del cálculo. Para la integral de Riemann-Stieltjes.

Question

Busco un teorema fundamental de cálculo para la integral de Riemann-Stieljes.

Teorema fundamental del cálculo : https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus , relaciona la diferenciación con la integración de Riemann.

También se puede definir la integral de Riemann-Stieljes : https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Stieltjes_integral#Formal_definition .

I.e (para $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ) considere $$I(t)=\int_0^t f(s)dg(s) $$

Si $g$ es una función diferenciable, entonces podemos escribir

$$I(t)=\int_0^t f(s)g'(s)ds $$

y el teorema fundamental del cálculo nos dice que

$$I'(t)=f(t)g'(t). $$

$\textbf{Question}$ ¿Y si $g$ no es diferenciable, digamos $g$ sólo es monotónicamente creciente y no negativo. Entonces, ¿qué podemos decir de $I'(t)$ ? ¿Podemos atarlo desde arriba?

Supongamos que la función $f$ es continua y no negativa, y Riemann-Stiejles integrable.

Answer 1

Supongamos únicamente que $f$ es integrable de Riemann-Stieltjes con respecto a $g$ y $g$ es monotónicamente creciente en $[a,b]$ . En estas condiciones $f$ es continua en casi todas partes y $g$ es diferenciable en casi todas partes. Podemos decir entonces que $I$ es diferenciable en cualquier punto $t \in [a,b]$ donde simultáneamente $f$ es continua y $g$ es diferenciable, y $I'(t) = f(t) g'(t)$ .

Prueba:

Dado que una función integrable de Riemann-Stieltjes debe estar acotada, existe una función finita $m,M$ tal que $m = \inf_{s \in [t,u]}f(s) $ y $M = \sup_{s \in [t,u]}f(s) $ y puesto que $g$ está aumentando,

$$m[g(u)-g(t)] \leqslant I(u) - I(t) =\int_t^uf \, dg \leqslant M[g(u) - g(t)]$$

Así,

$$m \frac{g(u) - g(t)}{u-t} \leqslant \frac{I(u)-I(t)}{u-t} \leqslant M\frac{g(u) - g(t)}{u-t}$$

Tomando el límite como $u \to t$ y aplicando el teorema de squeeze obtenemos $I'(t) = f(t) g'(t)$ . Tenga en cuenta que $m,M \to f(t)$ como $u \to t$ se deduce de la continuidad de $f$ en $t$ .

Este resultado es válido en general si $g$ es de variación acotada.