Pregunta sobre Análisis real: Conjuntos de Borel

Question

Sea $\mathcal{B}(\mathbb{R} ) $ sea el álgebra sigma generada por la familia de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ . Intento comprender este concepto. Según la definición, si llamamos $\mathcal{O} $ la colección de todos los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ entonces

$$ \sigma(\mathcal{O}) = \mathcal{B}(\mathbb{R} ) = \bigcap \{ \mathcal{F} : \mathcal{F} \; \text{is a sigma algebra and} \; \; \mathcal{O} \subset \mathcal{F} \}$$

Dado que cualquier elemento de $\mathcal{O}$ es una unión de intervalos abiertos $(a,b)$ ¿puedo decir que los elementos de $\mathcal{ B}( R) $ ¿son sólo intervalos?

Answer 1

La unión de 2 intervalos no es un intervalo.

Answer 2

$\mathcal B(R)$ contiene mucho más que intervalos abiertos, como por ejemplo $\mathbb{Q}$ el conjunto de Cantor, etc. La colección que mencionas no puede ser $\mathcal B(R)$ ya que no es un álgebra sigma (no es cerrada bajo complementos o intersección contable).

Answer 3

No, no puede. Las álgebras sigma son objetos bastante complicados si uno intenta entenderlas "demasiado". Dado que las uniones contables de conjuntos en un álgebra sigma son de nuevo en el álgebra sigma, también tenemos algo como:

$$A_n := \left( \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), n\geq 2 \Rightarrow [0,1] = \bigcup_{n=2}^{\infty} A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$$

Por lo tanto, también los intervalos cerrados están en $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Un tutor nos dijo una vez que imagináramos lo siguiente:

1. Tome todos los intervalos abiertos en $\mathbb{R}$ .
2. Añade todos los conjuntos que puedan escribirse como uniones contables de los conjuntos ya obtenidos.
3. Añade todos los conjuntos que puedan escribirse como intersecciones contables de los conjuntos ya obtenidos.

Ahora repite los pasos 2. y 3. una y otra vez .....

Cada paso produce algunos conjuntos nuevos, lo que demuestra que las álgebras sigma son, en general, bastante complicadas.