Mostrar que $(n!)^{(n-1)!}$ divide $(n!)!$

Question

Mostrar que $(n!)^{(n-1)!}$ divide $(n!)!$

He encontrado esta pregunta en un texto que estaba leyendo acerca de la DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES PRIMOS DE HECHO, me decidí muchos años, se han publicado algunos aquí para ayudar, pero este ... no salió en todo, de hecho yo no podía abandonar el lugar, y miró reolhei teoremas que me muestra el texto, pero que no podía resolver, necesita ayuda.

Answer 1

$$ \begin{align} \frac{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^na_i\right)!}{\displaystyle\prod_{i=1}^na_i!} &=\frac{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right)!}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}a_i!} \frac{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^na_i\right)!}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right)!\ a_n!}\\ &=\frac{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right)!}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}a_i!} \binom{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i}{a_n}\\ &=\prod_{k=1}^n\binom{\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i}{a_k}\tag{1} \end{align} $$ Por lo tanto, la fracción de la izquierda de $(1)$ es un producto de los coeficientes binomiales.

Podemos escribir $$ n!=n(n-1)!=\sum_{i=1}^{(n-1)!}n\etiqueta{2} $$ El uso de $(2)$ y, a continuación, $(1)$ $$ \begin{align} \frac{(n!)!}{n!^{(n-1)!}} &=\frac{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{(n-1)!}n\right)!}{\displaystyle\prod_{i=1}^{(n-1)!}n!}\\[4pt] &=\prod_{k=1}^{(n-1)!}\binom{kn}{n}\tag{3} \end{align} $$ Desde el lado derecho de la $(3)$ es un producto de los coeficientes binomiales, el lado izquierdo es un entero.

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Ejemplo

Los números de obtener grandes muy rápidamente, pero con $n=4$, $$ \frac{(4!)!}{4!^{3!}}=\frac{24!}{24^6}=3,246,670,537,110,000 $$ y $$ \begin{align} \prod_{k=1}^{3!}\binom{4k}{4} &=\binom{24}{4}\binom{20}{4}\binom{16}{4}\binom{12}{4}\binom{8}{4}\binom{4}{4}\\[4pt] &=3,246,670,537,110,000 \end{align} $$

Answer 2

Supongamos que usted ha $n$ conjuntos idénticos de $(n-1)!$ bolas. Las bolas en cada conjunto están numerados de 1 a $(n-1)!$. De cuántas maneras existen para organizar estos $n!$ bolas en una fila? Hay $\frac{(n!)!}{(n!)^{(n-1)!}}$ maneras.

Answer 3

Esta es la muestra de que las combinaciones o los coeficientes binomiales $\displaystyle{n\choose k}=C_n^k=\prod_{j=0}^{k-1}\frac{n-j}{1+j}$ son siempre naturales, para todos los valores de n y k. Todo depende de demostrar que el producto de los k números consecutivos es siempre divisible por el producto de la primera k números consecutivos, $1$ a través de k. Esto es obvio, ya que, en cada secuencia de $2$ números consecutivos, exactamente uno es par, y uno impar; en cada secuencia de tres números consecutivos, exactamente uno es ternario, mientras que los otros dos no son; en cada secuencia de cuatro números consecutivos, exactamente uno es cuaternario, mientras que el resto no; etc. Nuestro producto, $(n!)!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n!$, puede ser dividido en $\displaystyle\frac{n!}n=(n-1)!$ secuencias de n términos consecutivos, cada uno de esos sub-producto de ser divisible por n!, por las razones explicadas anteriormente. En otras palabras, el producto entero es divisible por $(n!)^{(n-1)!}$. QED.