¿Cómo demostrar que la representación binaria de un número siempre tiene más dígitos que la representación en base 10?

Question

Entiendo intuitivamente la idea de que como el número de opciones para cada dígito es más "granular" para base $2$ necesitamos más dígitos para representar el mismo número que en base $10$ .

¿Cómo puedo expresar esta idea (u otra prueba) en términos matemáticos?

Answer 1

Tome un número entero $n$ para algunos $p\in \mathbb{Z}$ es cierto que $2^p < n\leq 2^{p+1}$ . Es evidente que $p+1=\lceil \log_{2}(n)\rceil$ . Del mismo modo, para algunos $q\in \mathbb{Z}$ es cierto que $10^q< n\leq 10^{q+1}$ y por lo tanto $q+1=\lceil \log_{10}(n)\rceil$ . Puedes ver que la primera cantidad es siempre al menos tan grande como la segunda, que es lo que queremos mostrar (La primera cantidad es la longitud de la representación binaria y la segunda la longitud de la representación decimal).