¿Sólo los cuerpos simétricos respecto a un eje pueden tener dos momentos principales iguales?

Question

Sabemos que para un cuerpo con un eje de simetría de orden superior a 2 tiene dos momentos de inercia iguales. Pero, ¿se puede demostrar lo contrario? Es decir, dado sólo que dos momentos principales son iguales, ¿se puede deducir que existe un eje de simetría de orden mayor que 2 para el cuerpo?

Si la afirmación es falsa, ¿existe algún contraejemplo que sucede para tener dos momentos iguales, pero no "parece" simétrico?

La afirmación me parece cierta, pero más allá de la observación de que la elección de dos de los ejes principales es arbitraria en un plano (debido a la degeneración del tensor del momento de inercia), no sé cómo demostrar rigurosamente la existencia de un eje de simetría.

¿Existen formas estándar de hacer (y demostrar) afirmaciones sólidas de simetría en física a partir de unas pocas cantidades calculadas?

Answer 1

No es difícil construir un contraejemplo en el que los tres momentos principales de inercia sean iguales pero la distribución de la masa no tenga simetría.

La distribución de masas más sencilla es probablemente la de 6 masas puntuales tendidas sobre los ejes Oxyz con el centro de masas en O. El hecho de que las masas estén todas tendidas sobre los ejes garantiza que éstos son los ejes principales de inercia, porque los productos de inercia son cero.

Hay 12 variables (6 masas, 6 distancias al origen) y 5 restricciones. 3 restricciones son de la forma $m_1x_1=m_2x_2$ . Esto garantiza que el centro de masa está en el origen para cada eje. 2 restricciones son de la forma $m_1x_1^2+m_2x_2^2=m_3y_1^2+m_4y_2^2$ . Éstos garantizan que el momento de inercia sea el mismo para todos los ejes. El número de variables supera con creces el número de restricciones, por lo que es fácil elegir valores que satisfagan las 5 restricciones.

Una solución es :

eje x : masas de 20 y 10 unidades a distancias de +1 y -2 unidades de O.
eje y : masas de 15 y 5 unidades a distancias de +1 y -3 unidades de O.
eje z : masas de 6 y 4 unidades a distancias de +2 y -3 unidades de O.

Las masas están colocadas asimétricamente en cada eje pero el CM está en O. Los momentos de inercia alrededor de cada eje son :
$I_x=15*(+1)^2+5*(-3)^2+6*(+2)^2+4*(-3)^2=120$ unidades $I_y=20*(+1)^2+10*(-2)^2+6*(+2)^2+4*(-3)^2=120$ unidades $I_z=20*(+1)^2+10*(-2)^2+15*(+1)^2+5*(-3)^2=120$ unidades

Este contraejemplo demuestra que la simetría no es una condición necesaria para que los 3 momentos principales de inercia sean iguales .

Answer 2

Depende de lo sofisticado que seas a la hora de definir "simetría".

Por ejemplo, consideremos un cuadrado uniforme, con un agujero en forma de triángulo equilátero. El centroide del triángulo está en el centro del cuadrado, pero la orientación de los vértices del triángulo es arbitraria con respecto a los lados del cuadrado.

Es fácil demostrar que la figura plana tiene momentos de inercia iguales, pero obviamente no "parece" simétrica.