Comprender los mapas de momentos y los corchetes de Lie

Question

Estoy intentando aprender sobre mapas de momento en topología simpléctica (supongamos que nuestro grupo de Lie es $G$ con álgebra de Lie $\mathfrak g$ actuando sobre la variedad simpléctica $(M,\omega)$ por simplectomorfismos). Me cuesta, y me he dado cuenta de que es porque no tengo una buena comprensión conceptual del corchete de Lie, ni en el álgebra de Lie $\mathfrak g$ o en el grupo de simplectomorfismos de $(M,\omega)$ o en el espacio de funciones $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ . Por lo tanto no puedo "visualizar" la condición hamiltoniana, que requiere que el mapa lineal $\mathfrak g \rightarrow \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ que existe cuando la acción de $G$ es "exacto", sea un homomorfismo de álgebra de Lie.

Por favor, cuéntame cómo entiendes/intuyes/conceptualizas personalmente esta situación, tanto el tema del soporte de Lie como los mapas de momentos en general. Se agradece cualquier ayuda.

EDITAR : No me había dado cuenta de que parte de esta terminología no es estándar, así que mi pregunta puede resultar confusa. Llamo a la acción $\rho: G \rightarrow {\rm Symp}(M,\omega)$ "exacta" si la imagen del mapa inducido $\rho: {\rm Lie}(G) \rightarrow {\rm Lie}({\rm Symp}(M,\omega))$ está contenida en la sub-liebra de campos vectoriales hamiltonianos. La condición que me confundía, ahora me doy cuenta, es sólo una cuestión técnica: que elijamos un conjunto de funciones hamiltonianas representativas de la imagen $\rho({\rm Lie}(G))$ que es una subálgebra de Lie de $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ con su corchete de Poisson. Gracias a todas las respuestas útiles, creo que ahora lo entiendo mucho mejor.

En particular, si presentamos ${\rm Lie}(G)$ (suponiendo que sean de dimensión finita, semisimples, etc.) mediante generadores de álgebras de Lie (con algunas relaciones), entonces probablemente podamos elegir elementos apropiados en $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ para estos generadores, y luego el resto del mapa de ${\rm Lie}(G)$ a $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ se nos impone, ¿y esto da una acción hamiltoniana? ¿Es así?

Answer 1

Creo que la siguiente manera (Kostant's, 1970) es la mejor manera de pensar en la condición Hamiltoniana.

En primer lugar, "por qué" hay una extensión central $H^0(M; {\mathbb R}) \to C^\infty (M) \to symp(M)$ de las álgebras de Lie? ¿De qué es $C^\infty (M)$ ¿se supone que es el grupo Lie? Para $symp(M)$ el álgebra de Lie de los campos vectoriales que aniquilan la forma simpléctica $\omega$ está claro que debería ser el álgebra de Lie del grupo $Symp(M)$ de simplectomorfismos.

Supongamos ahora que $[\omega]$ es integral. Entonces es $c_1$ de algún haz de líneas de "precuantización". $\mathcal L$ y $\omega$ es la curvatura de alguna conexión hermitiana $\alpha$ en ese haz de líneas. Sea $Aut(M,{\mathcal L},\alpha)$ denotan el grupo de automorfismos del haz hermitiano (desplazando la base) de $\mathcal L$ conservar $\alpha$ . Evidentemente, este grupo corresponde a $Diff(M)$ olvidando la acción sobre las fibras, sino porque conserva $\alpha$ en $\mathcal L$ conserva $\omega$ en $M$ por lo que la imagen se encuentra dentro de $Symp(M)$ . El núcleo está formado por automorfismos de haz que sólo actúan en el sentido de las fibras, y para que preserven la conexión plana deben, en cada componente, rotar todas las fibras por el mismo elemento de $U(1)$ .

La condición hamiltoniana, entonces, se refiere a si se puede levantar la acción de $G$ en $M$ a una acción sobre el haz de líneas sobre $M$ . Es muy fácil, dada tal elevación, escribir un mapa de momentos. (Básicamente, ahora que se trata de un $1$ -forma $\alpha$ en lugar de $2$ -forma $\omega$ se pueden emparejar campos vectoriales de $\mathfrak g$ con él).

Un ejemplo que me parece instructivo es ${\mathbb R}^{2n}$ actuando sobre sí mismo por traslación, con el espacio dotado de la estructura simpléctica habitual. Eso es actuar como simplectomorfismos, y el espacio es simplemente conexo, así que no hay $H^1$ obstrucción (como cuando $T^1$ actúa sobre $T^2$ ). Pero no se puede elevar la acción para preservar la conexión (no plana) en el haz de líneas (trivial); sólo se eleva a una acción del grupo de Heisenberg.

Otro ejemplo sutil es $SO(3)$ actuando sobre $S^2$ con el área $1$ estructura simpléctica. A nivel de álgebra de Lie, sí, la acción es hamiltoniana. Pero en realidad $SO(3)$ no actúa sobre el haz de líneas; sólo su doble cubierta $SU(2)$ lo hace.

Por último, piense en el caso de que $G$ actúa algebraicamente sobre $X \subseteq {\mathbb P}V$ . Me gusta decir que $X$ es "equivariantemente proyectivo" si $G$ actúa sobre ${\mathbb P}V$ conservar $X$ y esto es casi un reemplazo algebro-geométrico de la condición Hamiltoniana. (No es un ejemplo: $X$ es una curva cúbica nodal, cuyo lugar suave es ${\mathbb C}^\times$ actuado por ${\mathbb C}^\times$ .)

Answer 2

Esta pregunta es (al menos como yo la leo) sobre el corchete de Poisson; el corchete de Poisson es una estructura de corchete de Lie sobre las funciones en una variedad simpléctica.

Entonces, ¿cómo hay que pensar en el corchete de Poisson? Bien, recordemos que para cada función en una variedad simpléctica, tenemos un campo vectorial Hamiltoniano $X_f$ . Una manera de pensar en esto es que si tu colector simpléctico es el espacio de fase de un sistema físico (el espacio de posibles posiciones y momentos), y $f$ es la función de energía, entonces el campo vectorial resultante es la derivada de la evolución temporal del sistema.

El corchete de Poisson $\{f,g\}$ se define como $X_f(g)$ la derivada de $g$ a lo largo del campo vectorial $X_f$ . Es decir el soporte de Poisson de $f$ y $g$ es la derivada temporal de $g$ si utiliza $f$ como la función de energía . Sorprendentemente, esta operación es antisimétrica y define una estructura de álgebra de Lie.

Como ha mencionado, un mapa de momento es equivalente a un homomorfismo de álgebra de Lie de $\mathfrak{g}$ al espacio de funciones en su colector. No estoy seguro de cómo se supone exactamente para visualizar eso, pero permítanme explicar cómo pienso en ello.

Imagina que tienes tu acción G favorita sobre una variedad simpléctica, preservando la estructura simpléctica. Tomando la derivada, se obtiene un mapa de álgebras de Lie de $\mathfrak{g}$ a campos vectoriales en su colector. Por tu pregunta, parece que lo que te confunde es cómo pensar en esos homomorfismos del álgebra de Lie. Esto sólo dice que si fueras a integrar los campos vectoriales procedentes de $\mathfrak{g}$ se obtendría el grupo G (o tal vez una cubierta finita).

Ahora, cada uno de estos campos vectoriales corresponde bajo la forma simpléctica a una forma 1-. Si tu múltiple no tiene $H^1$ entonces puedes integrarlas en funciones, pero por supuesto, no puedes hacerlo de forma única; sólo es única hasta una constante. Así que tomando todos estos ascensores, se obtiene un espacio vectorial de funciones que es $\dim \mathfrak{g}+1$ dimensional (suponiendo $G$ actuó fielmente). Esto es cerrado bajo Lie bracket, por lo que es un álgebra de Lie de dimensión finita $\tilde {\mathfrak{g}}$ con un mapa $\tilde {\mathfrak{g}}\to {\mathfrak{g}}$ .

Puede ser que $\tilde {\mathfrak{g}}\cong {\mathfrak{g}}\times \mathbb{R}$ como un álgebra de Lie, en cuyo caso se puede obtener un mapa de momentos eligiendo una división del mapa anterior, o puede que no, en cuyo caso no se tiene un mapa de momentos. Si $\mathfrak{g}$ es semisimple, entonces el último caso es imposible, por lo que siempre se tiene un mapa de momentos.

Answer 3

No soy un experto, pero la situación no me parece muy difícil de imaginar (véase nota a pie de página) . No utiliza nada más allá del hecho de que "el álgebra de Lie es el espacio tangente del grupo de Lie en la identidad". Además, para ello basta con imaginar el espacio tangente como flechas en la identidad del grupo de Lie, apuntando en las direcciones en las que te puedes mover.

Ah, y una observación al margen que puede ser útil para algunos. Tener un mapa $M \to \mathfrak g^*$ que suelo considerar un "mapa de momentos" es exactamente lo mismo que tener un mapa $\mathfrak g \to C^\infty(M,\mathbb R)$ de la que habla el autor de la pregunta, y esto último es más fácil de visualizar.

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El caso más sencillo es cuando $G=\mathbb R$ . Este es el caso estándar del flujo hamiltoniano (independiente del tiempo). La álgebra de Lie $\mathfrak g$ es unidimensional, por lo que un mapa de momento lineal $f:\mathfrak g \to C^\infty (M,\mathbb R)$ viene determinado por su valor en el vector unitario $\vec e \in \mathfrak g$ . Si $H=f(\vec e)$ este es precisamente el Hamiltoniano en su colector. El flujo con respecto al mapa de momentos es precisamente el mismo que el flujo de este Hamiltoniano.

El siguiente caso más sencillo es cuando $G=\mathbb R^n$ . La única diferencia es que aquí se puede ir en varias direcciones. Deje que ${\vec e_1 ,\ldots \vec e_n} \in \mathfrak g$ sean los vectores en la identidad de $G$ que representan las direcciones posibles. Ahora, un mapa de momentos $f:\mathfrak g \to C^\infty (M,\mathbb R)$ viene determinada por n Hamiltonianos; para cada $1\leq i \leq n$ tenemos $H_i = f(\vec e_i)$ .

Ahora, cualquier ruta en $G=\mathbb R^n$ corresponderá a algún flujo en el colector $M$ . En particular, si siempre se va "a la derecha" (en la dirección de $\vec e_1$ ), el flujo será precisamente el del Hamiltoniano $H_1$ la existencia de otras direcciones no importará. Si sólo vas en la dirección de $\vec e_2$ el flujo será el de $H_2$ . Para cualquier ruta puede aproximarse mediante una trayectoria lineal a trozos siempre paralela a un eje de coordenadas; el flujo será el de $H_i$ siempre que vaya paralelo a los ejes de $\vec e_i$ .

Por último, si G es cualquier Grupo de Lie, es un colector, por lo que localmente se ve como $\mathbb R^n$ . Todo lo que he dicho anteriormente sobre este caso sigue siendo válido, con una excepción: las direcciones de las coordenadas ya no pueden ser "independientes". (Así, ir a la derecha, luego arriba, luego a la izquierda, luego abajo, puede que no te lleve exactamente al mismo punto en el que empezaste) Desgraciadamente, en este punto se me acaba la pericia, así que consulta las otras respuestas para una explicación detallada. Sin embargo, algebraicamente, la condición que tienes que añadir es precisamente que el mapa de momentos f es un homomorfismo de álgebra de Lie; piensa en esto como un término de error que tienes que añadir para tener en cuenta la falta de independencia cuando cambias la dirección de tu trayectoria lineal a trozos.

Por supuesto, en la práctica, al calcular flujos no hace falta aproximar nada con trayectorias lineales a trozos, ya que hay ecuaciones algebraicas que te darán el hamiltoniano que corresponde a cualquier dirección. En el caso de $\mathbb R ^n$ el mapa f será simplemente lineal, en general es probable que haya un término de error.

Ah, y por último, la mayoría de las ecuaciones algebraicas son probablemente más sencillas si piensas en tus mapas de momentos como mapas $M \to \mathfrak g^*$ .

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Nota a pie de página: Cuando escribí que todo es sencillo, aún no había pensado en los términos de error (véase más arriba). Sin embargo, sigo pensando que para la mayoría de los propósitos conceptuales, es mejor pensar en su grupo de Lie como $\mathbb R^n$ con algunos términos de error añadidos. Que alguien me corrija si me equivoco, pero cuando describimos los grupos de Lie utilizando "formas de estructura", ¿no es precisamente una forma de precisar esta idea?

Answer 4

La condición del mapa de momentos es una forma precisa del teorema de Noether. Siempre que se tenga un $G$ -Hamiltoniano invariante, su flujo preservará el valor del mapa de momentos.
Esa es, en cierto sentido, la condición del mapa del momento:
$\mu:(M,\omega)\rightarrow \mathfrak{g}^*$ debe ser equivariante y satisfacer
$\langle d \mu(x).v,\xi\rangle=\omega(\xi_M(x),v)$ para todos $v\in T_x M$ y $\xi\in \mathfrak{g}$

Consideremos ahora el flujo $\phi^t$ de la $G$ -Hamiltoniano invariante $H$ . A continuación se calcula
$\frac{d}{dt}|_0 \langle\mu(\phi^t(x)),\xi\rangle=\langle d\mu(x).X_H(x),\xi\rangle=\omega(\xi_M(x),X_H (x))=dH(x).\xi_M(x)=\frac{d}{dt}|_0 H(e^{t\xi}.x)=0$
ya que H es $G$ -invariante. También hay una motivación de la reducción simpléctica, pero no sé si eso es realmente relevante al principio.
Por favor, no se desanime por estas "cosas del soporte". De todas formas, no lo considero especialmente esclarecedor...

Answer 5

Lo que voy a decir está implícito en la respuesta de Ben Webster, pero he pensado hacerlo explícito.

Una acción de grupo hamiltoniano sobre una variedad simpléctica M debe considerarse como un homomorfismo de grupo de Lie $G \to Ham(M)$ por lo que induce un mapa de álgebra de Lie $Lie(G) \to Lie(Ham(M))$ .

Pero, ¿qué es Lie(Ham(M))? Es la $C^\infty(M)$ (esos $f$ cuya integral sobre M es cero, si M es cerrado) y el corchete de Lie es el corchete de Poisson.

Así que la condición Hamiltoniana para una acción de grupo simpléctico es simplemente que quieres que tu homomorfismo de grupo de Lie $G \to Symp(M)$ para factorizar a través del homomorfismo de grupo de Lie $Ham(M) \to Symp(M)$ .