Resolver una ecuación tiene valores restringidos por ser indefinida pero no es aplicable a todas las formas

Question

Por ejemplo, en el caso de esta expresión algebraica

$${7x^2+14x\over2x+4}$$

Se establece que $x \ne -2$ ya que la división por 0 no está definida. Es comprensible que la sustitución de $-2$ propondrá una solución indefinida. Sin embargo, si se simplifica aún más, es decir

$${7x^2+14x\over2x+4} = {7x(x+2)\over2(x+2)} = {7x\over2}$$

también podemos incluir $-2$ como valor resoluble para $x$ . Mi confusión aquí es, si $x$ no puede ser $-2$ ¿cómo es posible que se pueda utilizar en una forma reducida, no debería ser no utilizable en todas las formas de la expresión algebraica?

Answer 1

No, esto se conoce como discontinuidad extraíble. Al simplificar la función original, se ha llegado a una nueva función con esa discontinuidad eliminada. Ten en cuenta que la función original y la función simplificada NO son la misma porque sus dominios no son iguales. Otro ejemplo: $$y = \frac{x(x+2)}{x+2}; \quad y = x$$

Si simplificamos la primera función, llegamos a la segunda. Sin embargo, no son iguales, ya que la segunda función está definida para todo $x \in \mathbb{R}$ mientras que el primero se define para todos $x \neq -2$ . Si los graficas, son exactamente iguales, excepto que el primero tiene un hueco en $x = -2$ mientras que el segundo no. (Al simplificar, has eliminado ese hueco o discontinuidad en $x = -2$ .) Lo mismo se aplica a su ejemplo.

Answer 2

Las dos expresiones son equivalentes para $x\neq -2$ es decir

$${7x^2+14x\over2x+4} = {7x\over2}$$

pero para $x=-2$ el LHS no está definido.

En ese caso podemos asignar un valor al LHS también para $x=-2$ en particular si definimos

$${7x^2+14x\over2x+4} = -7, \quad x=-2$$

las dos expresiones se vuelven completamente equivalentes (en ese caso la definimos a discontinuidad extraíble ).

Answer 3

Yo dibujaría un boceto muy aproximado... Digamos que tienes algunas funciones como

$f_1(x)=x^2$

$f_2(x)=\dfrac{3x}{13}$

$f_3(x)=\sqrt{x-1}$

ahora multiplicar $(x+2)$ con el numerador y el denominador de dicha función . Ahora parecen ser -

$f_1(x)=\dfrac{x^2(x+2)}{(x+2)}$

$f_2(x)=\dfrac{3x.(x+2)}{13(x+2)}$

$f_3(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}.(x+2)}{13(x+2)}$

Ahora qué dices, cada una de las funciones no es válida en $x=-2$ ¡¡¡¡!!!! ¿Tiene algún sentido? $x=-2$ punto no tiene nada que ver con esas funciones. Esto es puramente irrelevante.por lo que debemos tener para eliminarlos.así,en cada función en primer lugar debemos buscar una discontinuidad extraíble.si existe entonces debemos tener para eliminarlo para obtener el dominio real de la función.