¿Cómo se conserva localmente la carga?

Question

Sé cómo utilizar tanto la Ley de Gauss como la de Ampere, pero realmente me interesa saber y comprender cómo se conserva la carga como consecuencia de estas leyes, especialmente utilizando estas formas de las leyes:

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{\mathbf{D}}=\rho$$ $$\vec{\nabla}\times\vec{\mathbf{H}}= \vec{\mathbf{J}}+\frac{\partial\vec{\mathbf{D}}}{\partial t}$$

¿Puede alguien ayudar a explicarlo?

Answer 1

Se puede demostrar con las ecuaciones de Maxwell y algunas identidades vectoriales.

La conservación de la carga es $\nabla \cdot \vec{J} + \partial \rho/\partial t = 0$

Dado $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}+(1/c^2)\partial \vec{E}/\partial t$ .

Toma la divergencia de ambos lados. Por una identidad vectorial, la divergencia de un rizo es 0.Por la ley de Gauss $\nabla \cdot \vec{E} = \rho/\epsilon_0.$ Así que toma la divergencia de ambos lados:

$0 = \mu_0 (\nabla \cdot \vec{J})+(1/\epsilon_0c^2)\partial \rho/\partial t$

Sabemos que $\mu_0\epsilon_0=1/c^2$ así que divídelo todo por $\mu_0$ se obtiene la ecuación que define la conservación de la carga.

Algo parecido ocurre con $\vec{D}$ y $\vec{H}$ .