Primos de la forma a^2+1

Question

El hecho de que la función zeta de Riemann $\zeta(s)$ y sus hermanos tienen un poste en $s=1$ es responsable de la infinitud de grandes clases de primos (todos los primos, primos en progresión aritmética; primos representados por una forma cuadrática). No podemos esperar demostrar la infinitud de los primos $p = a^2+1$ de esta forma porque la serie $\sum 1/p$ sumado sobre estos primos, converge. Esto implica que el correspondiente producto de Euler $$\zeta_G(s)= \prod_{p = a^2+1} \frac1{1 - p^{-s}}$$ converge para $s = 1$ . Pero si pudiéramos demostrar que $\zeta_G(s)$ tiene un polo en, digamos, $s = \frac12$ se obtendría el resultado deseado. Ahora sé que hay heurística sobre el número de primos de la forma $p = a^2+1$ debajo de $x$ (¿por Hardy y Littlewood?)

¿Pueden explicarse estas heurísticas por propiedades hipotéticas de $\zeta_G(s)$ (o una serie de Dirichlet relacionada), o puede el dominio de convergencia de $\zeta_G(s)$ derivarse de tales asintóticas?

Por cierto, he aquí una conjetura poco conocida de Goldbach sobre estos primos: sea $A$ sea el conjunto de todos los números $a$ para lo cual $a^2+1$ es primo ( $A =$ {1, 2, 4, 6, 10, $\ldots$ }). Entonces cada $a \in A$ ( $a > 1$ ) puede escribirse de la forma $a = b+c$ para $b, c \in A$ . No he visto que se hable de esto en ningún sitio.

Answer 1

H Desafortunadamente dudo que este producto de Euler tenga muy buen comportamiento. Si crees en las conjeturas de Hardy-Littlewood, entonces $\sum_{n\leq X}\Lambda(n^2+1) \sim cX$ donde $c=\prod_{p>2}(1-\chi_{4}(p)(p-1)^{-1})$ es alguna constante positiva que casi seguro es trascendental. Si $\zeta_{G}(s)$ refleja este comportamiento asintótico, entonces $\frac{d}{ds}\log{\zeta_{G}(s)}$ tendría un poste en $s=1/2$ de residuo igual a $-c$ . Sin embargo, eso implicaría $\log{\zeta_G(s)}\sim -c\log{(s-1/2)}$ en un barrio de $s=1/2$ Así que $\zeta_G(s)$ se comportaría como $(s-1/2)^{-c}$ cerca de este punto. En particular, tendría algún tipo de rama cortada...

La gente ha conjeturado que $\sum_{n\leq X}\Lambda(n^2+1) = cX + O(X^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$ es verdadero, lo que daría la continuación de $\zeta_G(s)$ en el semiplano $\mathrm{Re}(s)>\frac{1}{4}$ después de elegir una rama, pero dudo que puedas llegar más lejos.

Answer 2

Franz, escribí un artículo relacionado con una heurística analítica sobre las series de Dirichlet asociadas a estos problemas de recuento de primos. Véase http://www.math.uconn.edu/~kconrad/articles/hlconst.pdf .