Sé que la respuesta es $n(n+1)$ pero tengo problemas para formular un argumento. Sé que por la definición, si dejo $h=[n,n+1]$ $$h=nk_1, h=(n+1)k_2$$ $$nk_1=(n+1)k_2$$ $$\frac{n}{n+1}=\frac{k_2}{k_1}$$ $$\frac{n(n+1)}{n+1}=\frac{(n+1)k_2}{k_1}$$ $$\frac{n(n+1)}{n+1}=\frac{h}{k_1}$$ $$n(n+1)=\frac{h(n+1)}{k_1}$$ Así que parece que el método directo no funciona (a menos que yo no lo esté viendo...)
Sé que si empiezo a enumerar los múltiplos de cada uno $$\{n, 2n, 3n, \ldots, (n-1)n, nn,(n+1)n\}$$ $$\{(n+1), 2(n+1), 3(n+1),\ldots, n(n+1), (n+1)(n+1)$$ Mi objetivo entonces sería demostrar que no hay términos iguales menores que $n(n+1)$ . Entonces supongamos que hay un lcm más pequeño. Entonces $$an=b(n+1), b<a$$ con $a<(n+1), b<n$ . Entonces $an=bn+b<bn+a$
Así, $an<bn+a \Rightarrow an-a<bn \Rightarrow a(n-1)<bn \Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{n}{n-1}$ Otra vez estoy atascado.
