Monotonicidad de $\log \det R(d_i, d_j)$

Question

$R(d_i, d_j)=\log\det(\mathbf{I}+(d_{i}^{-\alpha}\mathbf{H}_{i}\mathbf{v}_{i}\mathbf{v}_{i}^{*}\mathbf{H}_{i}^{*})(d_{j}^{-\alpha}\mathbf{H}_{j}\mathbf{v}_{j}\mathbf{v}_{j}^{*}\mathbf{H}_{j}^{*}+\sigma^{2}\mathbf{I})^{-1}).$

Quiero afirmar que esto está disminuyendo en $d_{i}$ y aumentando en $d_{j}$ . Creo que es monotónico en estas variables.

He probado con simulaciones y funciona. También puedo probar esto para el caso escalar pero me gustaría probarlo para un caso más general donde $\mathbf{H_i}$ , $\mathbf{H_j}$ son matrices constantes de valor complejo. Entonces $\mathbf{v_i}$ , $\mathbf{v_j}$ son vectores columna constantes de valor complejo. $\alpha$ es una constante real positiva y $d_i$ , $d_j$ son variables escalares de valor real no negativo, $\mathbf{I}$ es la matriz de identidad. La dirección $()^*$ es la transposición hermitiana (conjugada)

Ambos $\mathbf{v_i}$ , $\mathbf{v_j}$ excluir el vector todo cero. Del mismo modo, tanto $\mathbf{H_i}$ , $\mathbf{H_j}$ excluir toda matriz cero. Y $\sigma^2>0$ una constante real. Puede ser que requiera otros supuestos en estos vectores y matrices, pero no sé cuáles pueden ser y cualquier sugerencia es muy apreciada.

Ya lo he probado para el caso escalar y se mantiene. $$\log\left\{1+\frac{\frac{a}{x}}{\frac{b}{y}+\sigma^{2}}\right\}$$ para $a,$ $b$ escalares reales positivos. Gracias.

Answer 1

El resultado se deduce de algunas propiedades de la ordenación semidefinida positiva (Loewner) ( $X\geq Y$ et $X>Y$ significa que $X-Y$ son semidefinidas positivas y definidas positivas, respectivamente).

Sea $A=H_iv_iv_i^*H_i^*$ , $B=H_jv_j v_j^*H_j^*$ , C= $\sigma^2 I$ , $x=d_i^{-\alpha}$ , $y=d_j^{\alpha}$ . Sólo necesitaremos que $A\geq 0$ , $B\geq 0$ , $C>0$ en lo siguiente.

La función se simplifica en $\log\det(I+ xA(yB+C)^{-1})$ . Como argumenta Vedran, podemos deshacernos del registro. El determinante necesario es igual al de $I+x(yB+C)^{-1/2}A(yB+C)^{-1/2}$ (utilizando la identidad $\det(I+XY)=\det(I+YX)$ ).

Si $0<x_1<x_2$ , $0 \leq x_1 (yB+C)^{-1/2}A(yB+C)^{-1/2} \leq x_2 (yB+C)^{-1/2}A(yB+C)^{-1/2}$ por lo que todos los valores propios del LHS son menores que los del RHS y el determinante requerido es menor.

También podemos sustituir ese determinante por el de $I+A^{1/2}(yB+C)^{-1}A^{1/2}$ .

Si $0<y_1<y_2$ entonces $0<y_1B+C<y_2B+C$ et $0<(y_2B+C)^{-1}<(y_1B+C)^{-1}$ por lo que también $0<A^{1/2}(y_2B+C)^{-1}A^{1/2}<A^{1/2}(y_1B+C)^{-1}A^{1/2}$ y concluimos como arriba.

Answer 2

Obviamente, $\log$ no tiene interés aquí, ya que es una función monótona. Así, observamos

$$f(d_i, d_j) = \det \left( {\rm I} + (d_{i}^{-\alpha} H_i v_i v_i^* H_i^*)(d_j^{-\alpha} H_j v_j v_j^* H_j^* + \sigma^2 {\rm I})^{-1} \right).$$

Desde $H_i$ , $H_j$ , $v_i$ y $v_j$ son matrices/vectores constantes, podemos simplificarlo un poco introduciendo $u_i := H_i v_i$ et $u_j := H_j v_j$ :

$$f(d_i, d_j) = \det \left( {\rm I} + (d_{i}^{-\alpha} u_i u_i^*)(d_j^{-\alpha} u_j u_j^* + \sigma^2 {\rm I})^{-1} \right).$$

Utilizando Teorema del determinante de Sylvester o, más exactamente, su consecuencia (extraída de h )

$$\det(X + AB) = \det(X) \det( I_n + BX^{-1}A ),$$

para $A = {\rm I}$ , $B = d_{i}^{-\alpha} u_i u_i^*$ y $X = d_j^{-\alpha} u_j u_j^* + \sigma^2 {\rm I}$ vemos que

\begin{align*} f(d_i, d_j) &= \det \left( {\rm I} + (d_{i}^{-\alpha} u_i u_i^*)(d_j^{-\alpha} u_j u_j^* + \sigma^2 {\rm I})^{-1} \right) \\ &= \frac{\det \left( (d_j^{-\alpha} u_j u_j^* + \sigma^2 {\rm I}) + (d_{i}^{-\alpha} u_i u_i^*) \right)}{\det (d_j^{-\alpha} u_j u_j^* + \sigma^2 {\rm I})}. \end{align*}

Utilizando el hecho de que $u_i u_i^*$ es semidefinida positiva, y que $d_i^{-\alpha}$ disminuye cuando $d_i$ aumenta, debería ser bastante fácil demostrar que el numerador también disminuye cuando $d_i$ aumenta.

Ahora mismo no tengo una buena idea para $d_j$ así que dejaré esto a medias. Sin embargo, parece que la afirmación se mantiene.