qué es $Df(A)(X)$ si $f(A) = \det(A)$ ?

Question

Empecemos por el caso sencillo en el que $A$ es sólo un $2\times2$ matriz

deje $\begin{align} f :& \mathbb{R^{2\times2}} \to \mathbb{R} \\ & A \mapsto \det(A) \end{align}$

Quiero encontrar la diferencial de este mapeo si $A$ es invertible.

como pista me sugirieron calcular el siguiente límite :

$\lim_{t \to 0} \frac1t [\det(I+tX) -1]$ donde $X \in \mathbb{R^{2\times2}}$

el límite resulta ser sólo la traza de $X$

y puesto que $\det(I) = 1 $ tenemos que $Df(I)(X) = Tr(X)$ ¿Verdad?

así que supongo que ahora que si quiero encontrar $Df(A)(X)$ para $A$ invertible tengo que calcular este límite :

$\lim_{t \to 0} \frac1t [\det(A+tX) -\det(A)] = \det(A)\lim_{t \to 0} \frac1t [\det(I+tA^{-1}X) -1] $

así que $Df(A)(X) = \det(A)Tr(A^{-1}X)$ ¿Verdad?

ahora en dimensiones superiores el último paso no cambiaría y supongo que en el primer límite la expresión $[\det(I+tX) -1]$ sería algo del tipo $tTr(X) +t^2(\cdots) + t^3(\cdots)+\cdots$

así que todo está bien, pero ¿y si $A$ no es invertible ? el $\det$ siendo una especie de polinomio seguiría siendo diferenciable, ¿verdad? ¿pero cómo se construye la diferencial en este caso?

Editar : mi error si $A$ no es invertible, entonces $\det(A) = 0$ así que supongo $Df(A)(X) = 0$ ¿Puede alguien confirmarlo?

Edit 2 : al final todo se reduce a evaluar esto : $$\lim_{t \to 0 } \frac1t \det(A+tX)$$ para $A$ no invertible y $X \in \mathbb{R^{n\times n}}$

Answer 1

Si no insistes en tener una fórmula explícita en términos de operaciones matriciales, hay una buena manera de evaluar la derivada en términos de las columnas de las matrices. Si escribes $A=(a_1,\dots,a_n)$ et $X=(x_1,\dots,x_n)$ puede calcular $D\det(A)(X)$ como $$\tfrac{d}{dt}|_{t=0}\det(A+tX)=\tfrac{d}{dt}|_{t=0}\det(a_1+tx_1,\dots,a_n+tx_n). $$ Utilizando la multilinealidad del determinante, se puede expandir directamente y la invertibilidad no juega ningún papel en todo el cálculo, para obtener $\sum_{i=1}^n\det(a_1,\dots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\dots,a_n)$ . En particular, se ve fácilmente a partir de esta fórmula que $Df(A)(X)$ desaparece para todo $X$ si y sólo si el rango de $A$ es como máximo $n-2$ .