Demuéstralo: $\log_2(x)+\log_3(x)+\log_5(x)>9\log_{30}(x)$

Question

Probar para todos $x>1$

$\log_2(x)+\log_3(x)+\log_5(x)>9\log_{30}(x)$

Así que lo que hice fue: $$\begin{align} &\frac{\ln(x)}{\ln(2)}+\frac{\ln(x)}{\ln(3)}+\frac{\ln(x)}{\ln(5)}>9\frac{\ln(x)}{\ln(30)} \\[6px] &\frac{\ln(x)}{\ln(2)}+\frac{\ln(x)}{\ln(3)}+\frac{\ln(x)}{\ln(5)}>9\frac{\ln(x)}{\ln(2\cdot3\cdot5)}=9\frac{\ln(x)}{\ln(2)+\ln(3)+\ln(5)} \\[6px] &\frac{\ln(x)}{\ln(2)}+\frac{\ln(x)}{\ln(3)}+\frac{\ln(x)}{\ln(5)}\ge3\frac{3\ln(x)}{\sqrt[3]{\ln(2)\ln(3)\ln(5)}} \\[6px] &\!\ln(2)+\ln(3)+\ln(5)\ge3\sqrt[3]{\ln(2)\ln(3)\ln(5)} \\[6px] &\frac{3\ln(x)}{\sqrt[3]{\ln(2)\ln(3)\ln(5)}}>9\frac{\ln(x)}{\ln(2)+\ln(3)+\ln(5)} \end{align}$$

Creo que esto debería demostrar la desigualdad pero no estoy muy seguro de cómo formularlo correctamente si fuera en un examen, ¿algún consejo de cómo concluir? (si mi prueba es correcta)

Answer 1

Considera el lado izquierdo:

$$\log_2{x}+\log_3{x}+\log_5{x} = \frac{\log_{30}{x}}{\log_{30}{2}}+\frac{\log_{30}{x}}{\log_{30}{3}}+\frac{\log_{30}{x}}{\log_{30}{5}}.$$

Factor out $\log_{30}{x}$ :

$$\log_2{x}+\log_3{x}+\log_5{x} = \log_{30}x\left(\frac{1}{\log_{30}{2}}+\frac{1}{\log_{30}{5}}+\frac{1}{\log_{30}{5}}\right).$$

Ahora utiliza el hecho de que $\frac{1}{\log_b{a}} = \log_a{b}$ :

$$\log_2{x}+\log_3{x}+\log_5{x} = \log_{30}{x}\left(\log_2{30}+\log_3{30}+\log_5{30}\right).$$

Así que ahora todo lo que tenemos que mostrar es

$$\log_2{30}+\log_3{30}+\log_5{30}>9.$$

$\log_2{16}=4$ y puesto que $\log_2$ es una función estrictamente creciente, lo que significa que $\log_2{30}>(\log_2{16}=)4$ . Aplicando la misma lógica a los otros dos $\log$ s, obtenemos que $\log_3{30}>3$ et $\log_5{30}>2$ Por lo tanto

$$\log_2{30}+\log_3{30}+\log_5{30}>4+3+2=9$$

y hemos terminado

Answer 2

Desde aquí desde $\ln x>0$

$$\frac{\ln x}{\ln 2}+\frac{\ln x}{\ln 3}+\frac{\ln x}{\ln 5}>9\frac{\ln x}{\ln 30}\iff \frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 5}>\frac{9}{\ln 30}$$

podemos concluir, de hecho por Desigualdad HM-AM tenemos

$$\frac{3}{\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 5}}<\frac{\ln 2+\ln 3+\ln 5}{3}=\frac{\ln 30}{3} \implies \frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 5}>\frac9{\ln 30}$$

Answer 3

$$log_2(x)+log_3(x)+log_5(x)>9log_{30}(x) \iff \frac {log(x)}{log2} + \frac {log(x)}{log3}+\frac {log(x)}{log5} >9 \frac {log(x)}{log30}$$

$$\iff \frac {1}{log2} + \frac {1}{log3}+\frac {1}{log5} >9 \frac {1}{log30}$$

$$\iff \log_2 30 +\log_3 30 + \log_5 30 > \log_2 16 +\log_3 27 + \log_5 25 =4+3+2= 9$$