Extensión plana de anillos locales con una extensión especificada del campo residual

Question

Sea $(R, \mathfrak m_R, k)$ un anillo local noetheriano y $K$ un campo que contiene a $k$.

¿Es cierto entonces que existe un anillo local noetheriano $(S, \mathfrak m_S)$ y un homomorfismo de anillos plano $f: R\to S$ tal que $f(\mathfrak m_R)S=\mathfrak m_S$ y $S/\mathfrak m_S\cong K$?

Answer 1

Sí. Puedes ver una prueba en Bourbaki, Álgebra Conmutativa, capítulo IX, Apéndice, n.2, Corolario del Teorema 1.