¿Cómo puedo demostrar que los ángulos de la estructura tetraédrica es $109.5^\circ$ con cálculo. Podría hacerlo con geometría.

Question

¿Cómo puedo demostrar que los ángulos diedros de la estructura tetraédrica regular es $109.5^\circ$ con cálculo o cualquier otra técnica. Podría hacerlo con geometría considerando un cubo.

Answer 1

Cuatro vectores unitarios que apuntan hacia fuera desde el origen tienen ángulos iguales entre ellos.

Por simetría, su media, y por tanto su suma, es $0.$

Que un eje de coordenadas salga del origen en la dirección de uno de esos cuatro vectores.

La componente de ese vector en ese eje es $1.$

Por lo tanto la suma de los componentes, en ese eje, de los otros tres, debe ser $-1.$

Como son tres, la componente de cada uno en ese eje es $-1/3.$

Entonces el coseno del ángulo es $-1/3.$

Answer 2

Lo que buscas es el ángulo (teórico) asociado a sp $^{3}$ orbitales híbridos . ("Teórico" porque en cualquier molécula en la que aparezca esto, hay otras fuerzas en acción que hacen que el ángulo difiera en diversas cantidades). Como dijo Ian Mateus en un comentario, sólo necesitas la Ley de los Cosenos para un triángulo.

Supongamos que el cubo tiene una longitud de arista $1$ . (Los ángulos serán los mismos para cada valor que utilices para la longitud del borde, así que elige un buen número como $1$ .) Entonces las diagonales de las caras tienen longitud $\sqrt{2}$ y las diagonales espaciales tienen longitud $\sqrt{3}.$ Puede encontrar la longitud de la diagonal del espacio mediante dos aplicaciones apropiadas del teorema de Pitágoras, o utilizando la fórmula de distancia en ${\mathbb R}^3$ para hallar la distancia entre $(0,0,0)$ y $(1,1,1).$

Haciendo un dibujo (tal vez alguien pueda publicar un buen diagrama), se deduce que quieres encontrar el ángulo $\theta$ formado por los lados de igual longitud de un triángulo cuyos lados tienen longitudes $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ y $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ y $\sqrt{2}.$ Para ello, utilice la ley de los cosenos con $\theta$ como el ángulo y $\sqrt{2}$ como el lado opuesto $\theta$ :

$$c^2 \; = \; a^2 + b^2 - 2ab\cos \theta$$

$$\left(\sqrt{2}\right)^2 \;\; = \;\; \left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)^2 \; + \; \left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)^2 \; - \; 2\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\cos \theta$$

$$ 2 \; = \; \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3}{2}\cos \theta $$

$$ \frac{1}{2} \; = \; - \frac{3}{2} \cos \theta $$

$$ - \frac{1}{3} = \cos \theta$$

$$ \theta = \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) $$

Ahora usa una calculadora.

(AÑADIDO 4 AÑOS 5 MESES DESPUÉS) Hace unos meses (a partir de la fecha de esta edición) me encontré con varios artículos en Revista de Educación Química que ofrecen varias formas de derivar el ángulo de enlace tetraédrico. En su momento dejé los documentos a un lado, con la intención de incluirlos aquí en algún momento posterior, y ahora es ese momento posterior.

[1] Gordon Louis Gombert, El ángulo de valencia del átomo de carbono , Revista de Educación Química 18 #7 (julio de 1941), 336-337.

[2] Walter Harrington Dore, Cálculo del ángulo de valencia , Revista de Educación Química 19 nº 1 (enero de 1942), 29-30.

[3] Philip Francis Weatherill, El ángulo de valencia del átomo de carbono , Revista de Educación Química 19 nº 1 (enero de 1942), 35.

[4] Garrett William Thiessen, El ángulo de valencia del carbono Sección de cartas, Revista de Educación Química 19 nº 4 (abril de 1942), 198.

[5] Wesley Emil Brittin, Ángulo de valencia del átomo de carbono tetraédrico , Revista de Educación Química 22 #3 (marzo de 1945), 145.

[6] Thomas McCullough, Cálculo sencillo del ángulo de enlace tetraédrico , Revista de Educación Química 39 #9 (septiembre de 1962), 476.

[7] Günther Snatzke, [ Carta al Director ], sección Letras, Revista de Educación Química 40 nº 2 (febrero de 1963), 94. [Nota: Hay una errata en la primera ecuación mostrada, y debería ser $r_1 + r_2 + r_3 + r_4 = 0.]$

[8] Bruce Lindsey Cockburn, [ Carta al Director ], sección Letras, Revista de Educación Química 40 nº 2 (febrero de 1963), 94.

[9] Christopher James Kawa, Hallar el ángulo de enlace en una molécula tetraédrica , Revista de Educación Química 65 #10 (octubre 1988), 884-885.

[10] George Henry Duffey, Empleando álgebra vectorial para obtener el ángulo de enlace tetraédrico , Revista de Educación Química 67 nº 1 (enero de 1990), 35-36.

[11] Dylan Gow y Amites Sarkar, [Solución al problema 22.5], Espectro matemático 23 #1 (septiembre de 1990), 27-28.

[12] Resat Mustafa Apak e Izzet Tor, Encontrar el ángulo de enlace Sección de Cartas, Revista de Educación Química 68 nº 11 (noviembre de 1991), 970.

[13] Brian Terence Sutcliffe y Stephen J. Smith, Cálculo del ángulo tetraédrico Sección de Cartas, Revista de Educación Química 69 nº 2 (febrero de 1992), 171.

[14] George Henry Duffey, Cálculo del ángulo tetraédrico Sección de Cartas, Revista de Educación Química 69 nº 2 (febrero de 1992), 171.

[15] Paul Glaister, Simetría rotacional de una molécula de metano y ángulo de enlace , Revista de Educación Química 70 nº 5 (mayo de 1993), 351.

[16] Paul Glaister, Cálculo del ángulo de enlace tetraédrico mediante polares esféricos y el producto punto , Revista de Educación Química 70 nº 7 (julio de 1993), 546-547.

[17] Alfred Alexander Woolf, Geometría tetraédrica simplificada , Revista de Educación Química 72 #1 (enero de 1995), 19-20.

[18] Paul Glaister, Dos comentarios sobre los ángulos de enlace , Revista de Educación Química 74 nº 9 (septiembre de 1997), 1086.

[19] Ricardo de Carvalho Ferreira, Ángulo de enlace tetraédrico Sección de cartas, Revista de Educación Química 75 nº 9 (septiembre de 1998), 1087.

[20] Sara Noemí Mendiara y Luis José Perissinotti, Geometría tetraédrica y momento dipolar de las moléculas , Revista de Educación Química 79 nº 1 (enero de 2002), 64-66.

[21] Marten J. ten Hoor, Una perenne: el ángulo de enlace tetraédrico , Revista de Educación Química 79 nº 8 (agosto de 2002), 956-957.

Answer 3

Con productos de puntos: Tomando el cubo de lado orientado al eje $2$ centrado en el origen, estás buscando el ángulo $\theta$ entre (digamos) los vectores $\mathbf{u} = (1, -1, 1)$ y $\mathbf{v} = (-1, 1, 1)$ : $$ \cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\, \|\mathbf{v}\|} = -\frac{1}{3}. $$ En respuesta a la petición de Dave Renfro de un diagrama (sus triángulos están delimitados por un par de vectores y una línea discontinua), he aquí un estereograma de ojos cruzados:

Answer 4

Hay una interpretación geométrica asombrosa para calcular el ángulo en ese enlace ->

http://maze5.net/?page_id=367