EDP en colectores

Question

Actualmente estoy en un curso de PDE donde uno de los requisitos es presentar un trabajo en PDE. Me pregunto si alguien puede sugerirme un trabajo inicial (léase fundacional, introductorio) que hable de la EDP en variedades. Soy topólogo (teórico de la homotopía) de formación, así que prefiero que las cosas no tengan coordenadas, pero puede que esto no sea posible. Por ejemplo, algo que relacione varias nociones de curvatura con la EDP, o algo sobre ver la EDP globalmente en términos de actuar sobre secciones sería genial.

Si este no es el mejor foro mis disculpas.

Answer 1

Hay muchas respuestas posibles a tu pregunta, pero aquí tienes algunas ideas. No son papeles, sino buenos proyectos.

• El método de las características en las EDP no lineales de primer orden puede interpretarse de forma muy limpia utilizando la topología de contacto y las formas simplécticas. Esto libera a uno de las coordenadas, pero entonces se puede utilizar la geometría para escribir las ecuaciones de Hamilton-Jacobi completas. Véase el capítulo 2 de "Lectures on Partial Differential Equations" de Vladimir Arnold. En general, muchos problemas de sistemas dinámicos pueden reformularse completamente en notación teórica de formas diferenciales. Desde el punto de vista de la física, "Classical Dynamics: A Contemporary Approach" de Jose y Saletan tiene algo de esto.

• Dependiendo de lo que hayas hecho, se puede demostrar el Teorema de Descomposición de Hodge utilizando la teoría básica de los espacios de Sobolev, Lax-Milgram y la Alternativa de Fredholm. Esto no es independiente de las coordenadas en sí, sino que utiliza maquinaria funcional-analítica general. Hicimos esto en una clase de PDE recientemente, y sólo tengo mis notas como referencia, pero Griffiths y Harris "Principios de Geometría Algebraica" parece hacer la prueba a partir de la página 84.

• También puedes consultar el artículo original de Nash sobre su teorema de incrustación, que básicamente se reduce a un problema de punto fijo. Sin embargo, esto es necesariamente por coordenadas.

Buena suerte.

Answer 2

El artículo de Gage y Hamilton sobre el flujo de curvatura (enderezamiento de curvas) para curvas en $\mathbb R^2$ sería bueno presentar.

MR0840401 (87m:53003)

Answer 3

Estoy de acuerdo con su opinión sobre la libertad de coordenadas. Además, el trabajo de Richard Melrose me parece muy inspirador, ya que -aunque se ocupa claramente de la teoría de pde y de índices- se preocupa en todo momento de la invariancia explícita de coordenadas de los enunciados. Así, su trabajo puede ser entendido claramente por un topólogo diferencial.
Aquí está su página web, mírala tú mismo:
http://www-math.mit.edu/~rbm/
Fíjate, por ejemplo, en sus explicaciones sobre las explosiones o en el material sobre la transformación de Fourier y los operadores pseudodiferenciales desde la perspectiva de un topólogo diferencial.

Answer 4

Para hacer las cosas sin coordenadas, basta con reformular las ecuaciones diferenciales en la forma que hace uso de derivadas exteriores y productos exteriores de formas diferenciales. Cualquier conjunto de ecuaciones diferenciales puede ser moldeado en esta forma, la única sutileza es que puede requerir una colección infinita de formas diferenciales para ser introducido. Como topólogo puede que conozcas el trabajo de Sullivan "Infinitesimal computations in topology" en el que se estudian una serie de ecuaciones de este tipo. Aunque para hacer EDP reales es necesario trabajar también con formas de grado cero, cosa que él no hizo. Tales ecuaciones tienen aplicaciones en física, por ejemplo, se pueden escribir las ecuaciones que describen un agujero negro sin hacer referencia a ninguna coordenada.

El sistema típico tiene la forma $d W^A=F^A(W)$ donde $W^A$ es un conjunto de algunas formas valoradas en algunos espacios lineales, $W^A$ no tienen por qué tener el mismo grado, $F^A(W)$ se expande sólo en términos de productos exteriores de $W^A$ con coeficientes constantes.

Como ejemplo, tomemos una forma $\Omega^I$ , $F^I=f^I_{JK}\Omega^I\Omega^K$ entonces $d\Omega^I=f^I_{JK}\Omega^I\Omega^K$ la integrabilidad de esta ecuación implica $f^I_{JK}$ sean las constantes de estructura de alguna álgebra de Lie. Las ecuaciones de constancia covariante pueden formularse de la misma forma.

Answer 5

El tour-de-force de la pde elíptica en variedades es el problema de Yamabe. Allí la pde es de segundo orden, elíptica y semilineal con un exponente crítico de Sobolev. El análisis puede volverse increíblemente difícil si quieres resolver todo el problema, pero si te centras en los primeros pasos (los realizados por Yamabe, Trudinger) podrías tener un buen problema. Menciono esto aquí porque fue mi exposición a este problema lo que me preparó para investigar en análisis geométrico (EDP en variedades riemannianas) y creo que este es el caso de mucha gente en geometría diferencial conforme. Las referencias incluirían "The Yamabe Problem" de Lee&Parker y las notas de clase en el sitio web de Emmanuel Hebey.