Problema de geometría sobre la demostración del punto medio utilizando números complejos

Question

La pregunta original es la siguiente,

Sea O el centro de una circunferencia que pasa por los puntos A, B, C y sea AD el diámetro de la circunferencia. Sea la recta tangente en D a la circunferencia interseca a la recta BC en P. Sea la recta OP interseca a las rectas AC y AB en M y N respectivamente. Demostrar que O es el punto medio de MN.

Esto es lo que me ha salido con la foto,

La ecuación de la recta de BC es $Z+BC\cdot\overline{\rm Z}=-BC$ .

Y la ecuación de la recta tangente en D es $Z+D^{2}\overline{\rm Z}=2D$

Después de suponer que es un círculo unitario, expresé los puntos B y C como $e^{i\alpha}$ y $e^{i\beta}$ respectivamente. Pero después me quedo atascado.

Agradecería si alguien me puede ayudar.

Answer 1

Las letras minúsculas denotan los afijos de los números complejos. Sea $O$ sea el centro de la circunferencia unitaria $(ABC)$ y que la línea $AD$ sea el eje real. Entonces, $a=-1$ y $d=1$ .

Considerando la ecuación de la recta $DP$ , $p$ satisface:

$$p+\overline{p} = 2 \tag{1}$$

Desde $p$ también se encuentra en línea $BC$ :

$$p+bc\overline{p}=b+c \tag{2}$$

Resolver $(1)$ y $(2)$ simultáneamente:

$$p=\frac{-2bc+b+c}{1-bc} \tag{3}$$

La ecuación de la recta que contiene $o$ (origen) y $p$ es:

$$z=\frac{2bc-b-c}{-2+c+b} \cdot \overline{z} \tag{4}$$

Así que.., $n$ satisface $(4)$ :

$$n=\frac{2bc-b-c}{-2+c+b} \cdot \overline{n} \tag{5}$$

Desde $n$ también se encuentra en línea $AB$ :

$$n=\overline{n}b-1+b \tag{6}$$

Resolver $(5)$ y $(6)$ simultáneamente:

$$n=\frac{-2bc+b+c}{b-c} \tag{7}$$

Lo mismo digo, $m$ satisface $(4)$ :

$$m=\frac{2bc-b-c}{-2+c+b} \cdot \overline{m} \tag{8}$$

Desde $m$ también se encuentra en línea $AC$ :

$$m=\overline{m}c-1+c \tag{9}$$

Resolver $(8)$ y $(9)$ simultáneamente:

$$m=\frac{2bc-b-c}{b-c} \tag{10}$$

En $(7)$ y $(10)$ :

$$\fbox{$ n+m=0 $} \; \;\; \blacksquare$$