combinaciones de permutaciones para camisa

Question

¿De cuántas formas distintas pueden 6 i camisas rojas idénticas entre 12 niños de manera que cada niño reciba una camiseta?

Ahora, ¿cuál será la respuesta si consiguen camisetas con números?

EDIT :En realidad se suponía que debía resolver la pregunta modificada, porque la primera pregunta se puede resolver simplemente con teoría de combinaciones.

Answer 1

El segundo problema también es un problema típico de las urnas. Distribuir las 6 camisetas rojas es como elegir de una urna de 12 personas (volviendo a poner a las personas elegidas en la urna) donde el orden no importa. El número de formas de hacerlo viene dado por el multiset coeficiente: $$\binom{n+k-1}{k}$$ Ahora $n=12$ y $k=6$ y haces esto dos veces para cada color, así que la respuesta es $$\binom{12+6-1}{6}^2=\binom{17}{6}^2=153165376$$

Answer 2

Para la pregunta modificada, dado que cada niño puede obtener 0, o 1, o 2, y así sucesivamente camisetas rojas, el número de formas en que se pueden distribuir las camisetas rojas es el coeficiente de $x^6$ en

$$(1+x+x^2+\dots)^{12} = (1-x)^{-12}$$

Como ahora las condiciones son tales que las camisetas verdes y rojas pueden distribuirse independientemente, el recuento total es el cuadrado de esto, que se calcula como $12376^2 = 153165376$