Demostrar que $\Bbb Z[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$ no es igual a $\Bbb Z[\sqrt{2} + \sqrt{3}]$.

Question

Demostrar que $\Bbb Z[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$ no es igual a $\Bbb Z[\sqrt{2} + \sqrt{3}]$.

Esta es la tarea. Quiero demostrar que estos son los diferentes conjuntos. El primer conjunto es el más pequeño anillo que contiene los enteros y los dos radicales por separado. El segundo es el más pequeño anillo que contiene los números enteros y la suma de los dos radicales. Por desgracia no puedo encontrar las pruebas semejantes a aprender. He estado tratando de demostrar que el segundo conjunto no contienen la plaza de techo de $6$, por ejemplo, o la raíz cuadrada de $3$. No hemos visto lo que el segundo conjunto puede contener. Sólo hemos mirado colindante con un solo radical y no a la suma de los radicales de la clase. Si alguien pudiera resolver un ejemplo similar o me dan una visión crucial, eso sería genial.

Answer 1

Sugerencia $\ $ $\,\ \sqrt{3}\,\not\in \Bbb Z[\alpha]\ $ $\ \alpha\, =\, \sqrt 3 +\! \sqrt{2}\ $ grado $\,4\,$ $\Bbb Q,\,$ más $$\!\!\!\! \begin{eqnarray} \alpha\,(2\sqrt 3-\!\alpha)&=&\phantom{._{I^{I^I}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (\sqrt 3+\!\sqrt 2)(\sqrt 3-\!\sqrt 2)\, =\, \color{#0a0}{1}\\ \Rightarrow\ \ \alpha\sqrt 3\, =\, \dfrac{\alpha^2}{\color{#c00}2}\!&+&\!\dfrac{\color{#0a0}{1}}2\,\in\,\color{}{\Bbb Z}[\alpha]\, =\,\color{}{\Bbb Z}\!+\!\alpha\Bbb Z\!+\!\color{}{\alpha^2{\color{#c00}{\Bbb Z}}}\!+\!\alpha^3\Bbb Z \,\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{\color{#c00}2} \in \color{#c00}{\Bbb Z}\end{eqnarray}$$

Answer 2

No es la solución más elegante, pero tenga en cuenta que $$(\sqrt2+\sqrt3)^{2n+1}=a_n\sqrt2+b_n\sqrt3,$$ donde $a_0=b_0=1$ y $$(\sqrt2+\sqrt3)^2(a_n\sqrt2+b_n\sqrt3)=(5+\sqrt6)(a_n\sqrt2+b_n\sqrt3)=(5a_n+6b_n)\sqrt2+(5b_n+4a_n)\sqrt3,$$ así $$2\mid a_{n+1}-b_{n+1}\iff 2\mid(5a_n+6b_n)-(5b_n+4a_n)=a_n-b_n+2b_n.$$

Por lo tanto, la diferencia de $a_n-b_n$ es incluso para todos los $n$. Incluso los poderes de $(\sqrt2+\sqrt3)^{2n}$ contienen sólo $\sqrt6$. Pero los elementos de $\mathbb Z[\sqrt2+\sqrt3]$ tienen la forma $$\sum_{k=0}^d z_k(\sqrt2+\sqrt3)^k.$$ Esto significa que la diferencia de múltiplos de $\sqrt2$ $\sqrt3$ siempre tiene que ser, incluso, que contradice $\sqrt2$ o $\sqrt3$ elementos de este anillo.

Yo, obviamente, asumir que ya conocemos $\sqrt2, \sqrt3$ $\sqrt6$ son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$.