Preimagen de conjuntos de medida cero

Question

Denote por $|A|$ la medida de $A$ (Puede ser la medida de Lebesgue) bajo qué condiciones sobre una función $f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ la preimagen de un conjunto nulo es cero, es decir

$|A|=0 \Rightarrow |f^{-1}(A)| =0$

Un interés especial por las condiciones sobre funciones no necesariamente suaves

Answer 1

Por ejemplo, basta con que $f\in C^1$ y el conjunto $\lbrace x | \nabla f(x) = 0 \rbrace$ tiene medida cero.

Para demostrarlo, obsérvese que esto es cierto localmente, en una vecindad de cada punto donde $\nabla f \neq 0$ debido al teorema de la función implícita. Ahora la afirmación se deduce del hecho de que $f^{-1}[A] \subset Z \cup \bigcup_n (U_n \cap f^{-1}[A])$ donde $Z = \lbrace \nabla f = 0 \rbrace$ y $(U_n)$ es un recubrimiento contable de $\mathbb{R}^m \setminus Z$ por vecindades para las que se aplica el teorema de la función implícita.

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, pero .... Si cambias "pre-imagen" por "imagen", entonces estás preguntando por la Condición de Lusin (N). A pesar de estar bien estudiada, una caracterización de tales funciones parecería ser un problema bastante profundo. La mayoría de los resultados sobre la condición (N), al parecer, son contraejemplos, como la construcción de funciones en ciertos espacios de Sobolev que no obedecen la condición (N). Los resultados positivos son algo más escasos. Por ejemplo, aunque el caso unidimensional se ha resuelto, según tengo entendido el caso bidimensional está lejos de ello, aunque se conocen algunas condiciones suficientes. Entre ellas está que el mapeo jacobiano $Jf$ de un $W^{1,n}$ sea estrictamente positiva, o que $W^{1,n}$ el mapeo sea positivo y abierto.

Algunos de estos criterios podrían, obviamente, implicar algo sobre lo que usted pregunta.

Dicho esto, tan temprano por la mañana, no estoy seguro de si su pregunta es en realidad mucho más fácil que preguntar acerca de la condición (N), y no podría, tal vez, recibir una resolución completa aquí en MO.