¿Hasta qué punto puedo pensar en una fibración lagrangiana en una variedad simpléctica como T*N?

Question

Esta es probablemente una pregunta muy elemental en geometría simpléctica, un tema que he cogido por ósmosis en lugar de aprenderlo realmente alguna vez.

Supongamos que tengo una variedad simpléctica $M$ . Creo que un Fibración lagrangiana de $M$ es una colección de submanifoldes lagrangianos inmersos, de modo que como colector fibrado localmente $M$ parece un producto. Es decir, puedo encontrar coordenadas locales para que las fibras sean $\{\text{half the coordinates} = \text{constant}\}$ .

Entonces, al menos localmente, puedo pensar en el conjunto de fibras como una especie de "espacio" $N$ . Mi pregunta es: ¿hasta qué punto puedo pensar en $M$ como el haz cotangente $T^*N$ ?

Seguramente la respuesta es "en absoluto" globalmente: el conjunto de fibras probablemente no es un espacio en el buen sentido, y desde luego no es una variedad (véase: línea irracional en un toroide). Pero, ¿y localmente? Entonces se trata realmente de dos preguntas:

Pregunta 1: Si tengo una fibración lagrangiana en $M$ ¿puedo encontrar las coordenadas locales? $p_i,q^j: M \to \mathbb R$ de modo que la forma simpléctica es $\omega = \sum_i dp_i \wedge dq^i$ y las fibras son de la forma $\{ \vec q = \text{constant}\}$ .

Pensé que la respuesta era obviamente "sí", y puede que lo sea, pero lo que pensé que funcionaba no puedo hacerlo llegar hasta el final.

Entonces la cuestión es cómo de canónico es esto, y eso no tiene nada que ver con las fibraciones lagrangianas generales:

Pregunta 2: ¿Cuál es una buena descripción de los simplectomorfismos locales $\mathbb R^{2n} \to \mathbb R^{2n}$ de la forma $\tilde q = \tilde q(q)$ y $\tilde p = \tilde p(p,q)$ ?

El principio de la respuesta es que es un simplectomorfismo local si $\sum_i d\tilde p_i \wedge d\tilde q^i = \sum_i dp_i \wedge dq^j$ pero el lado izquierdo es $\sum_{i,j,k} \bigl(\frac{\partial \tilde p_i}{\partial q^j}dq^j + \frac{\partial \tilde p_i}{\partial p_j}dp_j \bigr) \wedge \bigl( \frac{\partial \tilde q^i}{\partial q^k}dq^k \bigr)$ por lo que las dos condiciones son que $\sum_i \frac{\partial \tilde p_i}{\partial q^j} \frac{\partial \tilde q^i}{\partial q^k}dq^k$ es una matriz simétrica, y que $\frac{\partial \tilde p}{\partial p}$ es la matriz inversa (tal vez transpuesta, dependiendo de su convención) a $\frac{\partial \tilde q}{\partial q}$ .

De todas formas, supongo que para completar también haré la pregunta global:

Pregunta 0: ¿Qué condiciones globales sobre $M$ y la fibración aseguran que existe un simplectomorfismo global con $T^*N$ para algunos $N$ ?

Answer 1

Un ejemplo de resultado global que responde a la Pregunta 0 es el siguiente (De Woodhouse, Cuantización Geométrica, Proposición 4.7.1) Sea $P$ sea una polarización real de una variedad simpléctica $M$ con hojas simplemente conectadas y geodésicamente completas y que $Q$ sea una submanifold lagrangiana de $M$ que interseca transversalmente a cada hoja exactamente en un punto. Entonces $M$ es simplectomorfo a $T^*Q$ , $P$ coinciden con la foliación vertical y $Q$ con la sección cero.

En términos más generales, si $P$ es una polarización real de $M$ tal que el espacio de hojas $M/P$ es un colector, las hojas son completas y simplemente conexas y $H^2(M/P;\mathbb R)=0$ entonces $M$ es simplectomorfo a un haz cotangente. A cada polarización real se le puede asociar una clase de cohomología que es un obstáculo para la existencia de una sección lagrangiana global.

Answer 2

Buena referencia: Duistermaat, J. J. (1980), On global action-angle coordinates. Communications on Pure and Applied Mathematics, 33: 687-706