Processing math: 100%

18 votos

¿Hasta qué punto puedo pensar en una fibración lagrangiana en una variedad simpléctica como T*N?

Esta es probablemente una pregunta muy elemental en geometría simpléctica, un tema que he cogido por ósmosis en lugar de aprenderlo realmente alguna vez.

Supongamos que tengo una variedad simpléctica M . Creo que un Fibración lagrangiana de M es una colección de submanifoldes lagrangianos inmersos, de modo que como colector fibrado localmente M parece un producto. Es decir, puedo encontrar coordenadas locales para que las fibras sean {half the coordinates=constant} .

Entonces, al menos localmente, puedo pensar en el conjunto de fibras como una especie de "espacio" N . Mi pregunta es: ¿hasta qué punto puedo pensar en M como el haz cotangente TN ?

Seguramente la respuesta es "en absoluto" globalmente: el conjunto de fibras probablemente no es un espacio en el buen sentido, y desde luego no es una variedad (véase: línea irracional en un toroide). Pero, ¿y localmente? Entonces se trata realmente de dos preguntas:

Pregunta 1: Si tengo una fibración lagrangiana en M ¿puedo encontrar las coordenadas locales? pi,qj:MR de modo que la forma simpléctica es ω=idpidqi y las fibras son de la forma {q=constant} .

Pensé que la respuesta era obviamente "sí", y puede que lo sea, pero lo que pensé que funcionaba no puedo hacerlo llegar hasta el final.

Entonces la cuestión es cómo de canónico es esto, y eso no tiene nada que ver con las fibraciones lagrangianas generales:

Pregunta 2: ¿Cuál es una buena descripción de los simplectomorfismos locales R2nR2n de la forma ˜q=˜q(q) y ˜p=˜p(p,q) ?

El principio de la respuesta es que es un simplectomorfismo local si id˜pid˜qi=idpidqj pero el lado izquierdo es i,j,k(˜piqjdqj+˜pipjdpj)(˜qiqkdqk) por lo que las dos condiciones son que i˜piqj˜qiqkdqk es una matriz simétrica, y que ˜pp es la matriz inversa (tal vez transpuesta, dependiendo de su convención) a ˜qq .

De todas formas, supongo que para completar también haré la pregunta global:

Pregunta 0: ¿Qué condiciones globales sobre M y la fibración aseguran que existe un simplectomorfismo global con TN para algunos N ?

1voto

Vincent Puntos 1

Un ejemplo de resultado global que responde a la Pregunta 0 es el siguiente (De Woodhouse, Cuantización Geométrica, Proposición 4.7.1) Sea P sea una polarización real de una variedad simpléctica M con hojas simplemente conectadas y geodésicamente completas y que Q sea una submanifold lagrangiana de M que interseca transversalmente a cada hoja exactamente en un punto. Entonces M es simplectomorfo a TQ , P coinciden con la foliación vertical y Q con la sección cero.

En términos más generales, si P es una polarización real de M tal que el espacio de hojas M/P es un colector, las hojas son completas y simplemente conexas y H2(M/P;R)=0 entonces M es simplectomorfo a un haz cotangente. A cada polarización real se le puede asociar una clase de cohomología que es un obstáculo para la existencia de una sección lagrangiana global.

0voto

Sasha Chedygov Puntos 236

Buena referencia: Duistermaat, J. J. (1980), On global action-angle coordinates. Communications on Pure and Applied Mathematics, 33: 687-706

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X