Esta es probablemente una pregunta muy elemental en geometría simpléctica, un tema que he cogido por ósmosis en lugar de aprenderlo realmente alguna vez.
Supongamos que tengo una variedad simpléctica M . Creo que un Fibración lagrangiana de M es una colección de submanifoldes lagrangianos inmersos, de modo que como colector fibrado localmente M parece un producto. Es decir, puedo encontrar coordenadas locales para que las fibras sean {half the coordinates=constant} .
Entonces, al menos localmente, puedo pensar en el conjunto de fibras como una especie de "espacio" N . Mi pregunta es: ¿hasta qué punto puedo pensar en M como el haz cotangente T∗N ?
Seguramente la respuesta es "en absoluto" globalmente: el conjunto de fibras probablemente no es un espacio en el buen sentido, y desde luego no es una variedad (véase: línea irracional en un toroide). Pero, ¿y localmente? Entonces se trata realmente de dos preguntas:
Pregunta 1: Si tengo una fibración lagrangiana en M ¿puedo encontrar las coordenadas locales? pi,qj:M→R de modo que la forma simpléctica es ω=∑idpi∧dqi y las fibras son de la forma {→q=constant} .
Pensé que la respuesta era obviamente "sí", y puede que lo sea, pero lo que pensé que funcionaba no puedo hacerlo llegar hasta el final.
Entonces la cuestión es cómo de canónico es esto, y eso no tiene nada que ver con las fibraciones lagrangianas generales:
Pregunta 2: ¿Cuál es una buena descripción de los simplectomorfismos locales R2n→R2n de la forma ˜q=˜q(q) y ˜p=˜p(p,q) ?
El principio de la respuesta es que es un simplectomorfismo local si ∑id˜pi∧d˜qi=∑idpi∧dqj pero el lado izquierdo es ∑i,j,k(∂˜pi∂qjdqj+∂˜pi∂pjdpj)∧(∂˜qi∂qkdqk) por lo que las dos condiciones son que ∑i∂˜pi∂qj∂˜qi∂qkdqk es una matriz simétrica, y que ∂˜p∂p es la matriz inversa (tal vez transpuesta, dependiendo de su convención) a ∂˜q∂q .
De todas formas, supongo que para completar también haré la pregunta global:
Pregunta 0: ¿Qué condiciones globales sobre M y la fibración aseguran que existe un simplectomorfismo global con T∗N para algunos N ?