¿Hasta qué punto puedo pensar en una fibración lagrangiana en una variedad simpléctica como T*N?

Question

Esta es probablemente una pregunta muy elemental en geometría simpléctica, un tema que he cogido por ósmosis en lugar de aprenderlo realmente alguna vez.

Supongamos que tengo una variedad simpléctica $M$ . Creo que un Fibración lagrangiana de $M$ es una colección de submanifoldes lagrangianos inmersos, de modo que como colector fibrado localmente $M$ parece un producto. Es decir, puedo encontrar coordenadas locales para que las fibras sean $\{\text{half the coordinates} = \text{constant}\}$ .

Entonces, al menos localmente, puedo pensar en el conjunto de fibras como una especie de "espacio" $N$ . Mi pregunta es: ¿hasta qué punto puedo pensar en $M$ como el haz cotangente $T^*N$ ?

Seguramente la respuesta es "en absoluto" globalmente: el conjunto de fibras probablemente no es un espacio en el buen sentido, y desde luego no es una variedad (véase: línea irracional en un toroide). Pero, ¿y localmente? Entonces se trata realmente de dos preguntas:

Pregunta 1: Si tengo una fibración lagrangiana en $M$ ¿puedo encontrar las coordenadas locales? $p_i,q^j: M \to \mathbb R$ de modo que la forma simpléctica es $\omega = \sum_i dp_i \wedge dq^i$ y las fibras son de la forma $\{ \vec q = \text{constant}\}$ .

Pensé que la respuesta era obviamente "sí", y puede que lo sea, pero lo que pensé que funcionaba no puedo hacerlo llegar hasta el final.

Entonces la cuestión es cómo de canónico es esto, y eso no tiene nada que ver con las fibraciones lagrangianas generales:

Pregunta 2: ¿Cuál es una buena descripción de los simplectomorfismos locales $\mathbb R^{2n} \to \mathbb R^{2n}$ de la forma $\tilde q = \tilde q(q)$ y $\tilde p = \tilde p(p,q)$ ?

El principio de la respuesta es que es un simplectomorfismo local si $\sum_i d\tilde p_i \wedge d\tilde q^i = \sum_i dp_i \wedge dq^j$ pero el lado izquierdo es $\sum_{i,j,k} \bigl(\frac{\partial \tilde p_i}{\partial q^j}dq^j + \frac{\partial \tilde p_i}{\partial p_j}dp_j \bigr) \wedge \bigl( \frac{\partial \tilde q^i}{\partial q^k}dq^k \bigr)$ por lo que las dos condiciones son que $\sum_i \frac{\partial \tilde p_i}{\partial q^j} \frac{\partial \tilde q^i}{\partial q^k}dq^k$ es una matriz simétrica, y que $\frac{\partial \tilde p}{\partial p}$ es la matriz inversa (tal vez transpuesta, dependiendo de su convención) a $\frac{\partial \tilde q}{\partial q}$ .

De todas formas, supongo que para completar también haré la pregunta global:

Pregunta 0: ¿Qué condiciones globales sobre $M$ y la fibración aseguran que existe un simplectomorfismo global con $T^*N$ para algunos $N$ ?

Answer 1

Parece que la pregunta 2 es un caso especial: ¿Cuáles son los simplectomorfismos preservadores de fibra de $T^*M$ ? Esto tiene una buena respuesta.

En primer lugar, cualquier difeomorfismo $f$ de $M$ define un simplectomorfismo preservador de fibra de $T^*M$ su elevación cotangente, por $(q,\xi) \mapsto (f(q),((df_q)^*)^{-1}\xi)$ . Estos son exactamente los simplectomorfismos preservadores de fibra de $T^*M$ que preservan la forma 1 canónica. En segundo lugar, cualquier 1-forma cerrada $\beta$ en $M$ define un simplectomorfismo preservador de fibra de $T^*M$ por $(q,\xi) \mapsto (q,\xi+\beta_q)$ . Estos son exactamente los que preservan las fibras de la proyección $T^*M \to M$ .

Entonces no es difícil demostrar que cualquier simplectomorfismo preservador de fibra de $T^*M$ es una composición de una elevación cotangente con traslación de fibra por una 1-forma cerrada.

Answer 2

Tu pregunta 1 se llama teorema de Darboux para fibraciones (véase: Arnold, V., Givental, A., Symplectic geometry, Dynamical Systems IV, Symplectic Geometry and its Applications (Arnold, V., Novikov, S., eds.), Encyclopaedia of Math. Sciences 4, Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1990).

A continuación se explica cómo construir unas coordenadas Darboux adecuadas. Sea $q_i$ sean coordenadas locales en la base de la fibración, las identificamos con sus pullbacks a la variedad simpléctica. Las funciones $q_i$ generan campos vectoriales hamiltonianos $X_{i}$ y estos campos son tangentes a las fibras (nótese que $X_{i}$ ). Sea $\varphi_{i}(t)$ sea el mapa de flujo generado por $X_{i}$ por tiempo $[0,t]$ .

Ahora elegimos (localmente) una submanifold lagrangiana $L$ transversal a la fibración. Las coordenadas $q_i$ dar coordenadas sobre $L$ Así que $(q_1,...,q_n)$ representa un punto de $L$ . He aquí una construcción de un simplectomorfismo local $$(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n) \mapsto \varphi_{n}(p_n)\circ ...\circ \varphi_{1}(p_1)(q_1,...,q_n).$$ Es fácil comprobar que, efectivamente, se trata de un simplectomorfismo fibrado que envía la estructura simpléctica a la estándar.

Answer 3

Hey Theo --- No creo que sea razonable esperar que las fibraciones lagrangianas sean haces cotangentes globalmente. Ejemplo fácil: tomemos un toroide 2d, démosle una forma simpléctica (equivalentemente una forma de volumen en este caso); cada submanifold 1d es automáticamente lagrangiano; el toroide es un haz circular sobre un círculo; realizándolo de esta manera, es una fibración sobre el círculo con fibras que son círculos lagrangianos. Ciertamente, no se trata de un haz cotangente.

Otro ejemplo, los sistemas integrables producen fibraciones lagrangianas sobre R^n: normalmente no son haces cotangentes. Véase la sección sobre sistemas integrables en el libro de Cannas da Silva.

Answer 4

He aquí otro ejemplo. Tomemos un haz cotangente T*M y añadamos a la estructura simpléctica canónica el pullback desde M de una 2-forma cerrada pero no exacta. En la variedad simpléctica resultante, las fibras cotangentes siguen formando una fibración lagrangiana, pero no hay sección transversal lagrangiana local.

Answer 5

Estimado Theo Johnson-Freyd, espero haber entendido al menos parcialmente el contenido de su pregunta y que mi respuesta pueda serle útil.

0.Configuración y especificación de la terminología.
En un simpléctico $2n$ -dimensional $(M,\omega)$ sea dada una foliación lagrangiana $\mathcal{F}$ es decir, una foliación de $M$ cuyas hojas son lagrangianas respecto a. $\omega$ . (En su lugar, me refiero a una fibración lagrangiana de $(M,\omega)$ como una sumersión suryectiva $f:M\to B$ cuyas fibras son lagrangianas respecto a. $\omega$ . Toda fibración determina una foliación, pero lo contrario no es cierto. La diferencia será irrelevante en mi punto(1), pero no así en mi punto(2)).

1.Existencia local de submanifolds lagrangianos transversales a $\mathcal{F}$ . Para cualquier $p\in M$ existe una submanifold lagrangiana de $(M,\omega)$ que pasa por $p$ y es transversal a $\mathcal{F}$ .

De hecho, para cualquier $p\in M$ existe un gráfico $(U,\phi)$ para $M$ centrado en $p$ tal que:
$\omega= \sum_{i=1}^{n}{d\phi_i \wedge d\phi_{n+i}}$ ,
la restricción de $\mathcal{F}$ en $U$ es generado por $\frac{\partial}{\partial\phi_{n+1}},\ldots,\frac{\partial}{\partial\phi_{2n}}$ ,
y en consecuencia $\phi_{n+1}=\ldots=\phi_{2n}=0$ es un submanifold lagrangiano local de $(M,\omega)$ de paso $p$ y transverval a $\mathcal{F}$ .

Esto no es más que el teorema de Caratheodory-Jacobi-Lie, aplicado a partir de un sistema $d\phi_1,\ldots,d\phi_n$ de $1$ -que genera localmente la distribución correspondiente a la foliación lagrangiana $\mathcal{F}$ .

2. Una globalización relativa.
Si $L$ un submanifold lagrangiano de $(M,\omega)$ es transversal a $\mathcal{F}$ entonces existe un difeomorfismo $f$ de un barrio abierto de $L$ en $M$ sobre un conjunto abierto en $T^*L$ tal que:
$f|_L$ es la sección cero de $\tau_L^{\ast}:T^{\ast}L\to L$ ,
$f_{\ast}\omega$ es la simpléctica canónica en $T^{\ast}L$ ,
y $f$ toma las hojas de $\mathcal{F}$ en las fibras de $\tau^{\ast}_L$ .

Esto no es más que el teorema 7.1 de "Symplectic Manifolds and their Lagrangian submanifolds" de A.Weinstein.