Una cuestión sobre la diferenciabilidad de Frechet

Question

Sea $X, Y$ sean espacios reales normados y $U \subset X$ subconjunto abierto. En "Nonlinear functional analysis and applications" editado por Louis B. Rall, tenemos la siguiente definición (página 115)

Un mapa $F : U \to Y$ se dice $\textbf{Frechet differentiable}$ en $x_0 \in U$ si existe un operador lineal continuo $L(x_0) : X \to Y$ tal que la siguiente representación es válida para cada $h \in X$ con $x_0 + h \in U$ , $$F(x_0 + h) - F(x_0) = L(x_0) h + r(x_0; h) $$ donde $$\underset{h \to 0}{lim} \frac{\| r(x_0; h) \|}{\| h \|} =0.$$

¿Cómo puedo calcular $r(x_0; h)$ ?

Por ejemplo, en la página 118 (Ejemplo 1.6) tenemos la siguiente función: $$f(x_1, x_2) = \frac{x_1^3 x_2}{x_1^4 + x_2^2} \; \; \text{if} \; \; (x_1, x_2) \neq (0, 0) \;\; \text{and} \;\; f(x_1, x_2) = 0, \; \; \text{if} \; \; (x_1, x_2) = (0, 0)$$ y $$r(0; h) = \frac{h_1^3 h_2}{h_1^4 + h_2^2} \;\; \text{if} \;\; h \neq 0.$$ ¿Por qué $r(0; h)$ ¿tiene este formulario?

Gracias.

Answer 1

Primero hay que encontrar un candidato para $L(0,0)$ dadas por las derivadas parciales. De este modo se obtiene $0$ matriz. Observemos entonces que $f(0,0)=0$ . Así que $r(0;h)$ es igual a $f(h1,h2)$ .

Answer 2

Su primera línea es, en efecto, una definición de $r$ : \begin{equation*} r(x_0; h) = F(x_0 + h) - F(x_0) - L(x_0) \, h. \end{equation*}

Como menciona lalala, el camino típico para demostrar la diferenciabilidad de Fréchet es el siguiente:

• Encontrar un candidato para $L(x_0)$ . Esto puede hacerse mediante cálculos formales o considerando derivadas direccionales.
• Definir el resto $r$ por la línea anterior y demostrar $r(x_0;h) = o(\lVert h \rVert)$ .