Caracterizaciones de UFD y dominio euclidiano mediante condiciones teórico-ideales

Question

Esta pregunta se inspira en un ejercicio realizado en Hungerford que sólo he resuelto parcialmente. El ejercicio dice: "Un dominio es un UFD si y sólo si cada ideal primo no nulo contiene un ideal principal no nulo que es primo". (Para Hungerford, "dominio" significa anillo conmutativo con $1\neq 0$ y sin divisores cero).

Una dirección es fácil: si $R$ es un UFD, y $P$ es un ideal primo distinto de cero, sea $a\in P$ , $a\neq 0$ . Entonces factor $a$ en irreducibles, $a = c_1\cdots c_m$ . Desde $P$ es un ideal primo en un anillo conmutativo, es completamente primo por lo que existe un $i$ tal que $c_i\in P$ y por lo tanto, $(c_i)\subseteq P$ . Desde $c_i$ es un elemento primo (porque $R$ es un UFD), el ideal $(c_i)$ es primo.

Confieso que tengo problemas con la inversa, y agradeceré cualquier pista.

Pero en esa misma línea, empecé a preguntarme si existía una condición "teórica ideal" similar que describiera los dominios euclidianos. Otras clases de dominios tienen definiciones teóricas ideales: PID es obvio, por supuesto, pero menos obvio quizá sea que los dominios GCD pueden definirse mediante condiciones ideal-teóricas (dados dos ideales principales cualesquiera $(a)$ y $(b)$ existe un ideal mínimo principal $(d)$ que contiene $(a)$ y $(b)$ el menor de todos los ideales principales que contienen $(a)$ y $(b)$ ), al igual que los dominios de Bezout (todo ideal finitamente generado es principal). ¿Alguien sabe si existe una definición teórica de ideales para los dominios euclidianos?

Answer 1

Querido Arturo,

El ejercicio en cuestión es en realidad un teorema de Kaplansky. Aparece como Teorema 5 en la página 4 de su Anillos conmutativos . [No he podido averiguar fácilmente si el resultado aparece por primera vez en este libro]. La prueba se reproduce en la sección 10 de un artículo expositivo que he escrito [pero que probablemente aún no he terminado] sobre factorización en dominios integrales:

http://alpha.math.uga.edu/~pete/factorizacion.pdf

En cuanto a tu segunda pregunta, se han realizado algunos trabajos sobre la comprensión de los dominios euclidianos desde perspectivas más intrínsecas. Dos artículos fundamentales son:

Motzkin, Th. El algoritmo euclidiano. Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949). 1142--1146.

http://alpha.math.uga.edu/~pete/Motzkin49.pdf

Samuel, Pierre Sobre los anillos euclidianos. J. Algebra 19 1971 282--301.

http://alpha.math.uga.edu/~pete/Samuel-Euclidean.pdf

No he tenido la oportunidad de digerir estos documentos, así que no estoy seguro de si responden directamente a su pregunta (tal vez no, pero creo que serán útiles).

Answer 2

Aunque la respuesta de Pete Clark es estupenda, he pensado en publicar una respuesta parcial que aborda la cuestión del UFD en una dirección diferente. Mi caracterización ideal-teórica favorita de los UFD es que un dominio $R$ es un UFD si y sólo si cada $t$ -ideal cerrado de $R$ es principal. En $t$ -operación de cierre sobre los ideales fraccionarios de un dominio $R$ viene dado por $$t: I \longmapsto I^t = \bigcup\{(J^{-1})^{-1}: J \subseteq I \mbox{ is a finitely generated ideal of } R\},$$ donde $J^{-1} = (R :_{Q(R)} J)$ y $Q(R)$ es el campo cociente de $R$ . En $t$ -es una útil operación de cierre sobre los ideales fraccionarios de un dominio $R$ . Krull introdujo tales $'$ -Operaciones en la década de 1930 en su libro Idealtheorie y algunos artículos posteriores. Hoy los llamamos operaciones estelares .

Un UFD es equivalentemente un dominio de Krull con grupo de clase divisor trivial. Un dominio de Krull es equivalente a un dominio integral $R$ tal que $(II^{-1})^t = R$ para cada ideal distinto de cero $I$ de $R$ . De estos dos conocidos resultados de la teoría de ideales multiplicativa se deduce que un UFD es equivalentemente un dominio en el que cada ideal $I$ tal que $I^t = I$ es principal. Me gusta esta caracterización porque no menciona nada sobre ideales primos principales o incluso ideales primos. Después de todo, es fácil ver que un dominio $R$ es un UFD si y sólo si cada ideal principal distinto de cero es un producto de ideales primos principales. Si se permite mencionar los ideales primos principales en la caracterización, entonces es fácil encontrar tales caracterizaciones.

Me gustaría señalar que la noción de ideal principal no tiene una descripción "puramente" ideal-teórica, ya que no se pueden recuperar sólo a partir de la red ideal. En particular, en mi opinión incluso la noción de un EPI no tiene una descripción puramente ideal-teórica. Sin embargo, la noción de dominio Dedekind sí la tiene: un dominio $R$ es un dominio Dedekind si y sólo si $II^{-1} = R$ para cada ideal distinto de cero $I$ de $R$ . Todo depende de lo que entiendas por "teórico-ideal". Para mí significa si la noción puede definirse en términos del monoide ordenado de todos los ideales, o ideales fraccionarios, del anillo. Por ejemplo, los ideales finitamente generados de un anillo conmutativo $R$ tienen una descripción puramente ideal-teórica, a saber, como los elementos compactos del poset de todos los ideales de $R$ .

Por cierto, un PID es equivalentemente un dominio Dedekind con grupo de clase ideal trivial, y esto se generaliza por el hecho mencionado anteriormente de que un UFD es equivalentemente un dominio Krull con grupo de clase divisor trivial.