Espacio de módulos de las superficies K3

Question

Se sabe que existe un espacio de moduli fino para superficies K3 marcadas (no algebraicas) sobre $\mathbb{C}$ . Véase, por ejemplo, el libro de Barth, Hulek, Peters y Van de Ven, apartado VIII.12. Por supuesto la marca aquí es necesaria, de lo contrario la presencia de automorfismos se puede utilizar para construir familias isotriviales no triviales de K3.

Supongamos que queremos construir un análogo algebraico de esto. Por supuesto, hay que añadir alguna estructura; estoy pensando en algo parecido a los puntos de torsión de las curvas elípticas.

¿Existe alguna forma de añadir alguna estructura y construir realmente un espacio de moduli fino de (K3 + estructura) que esté definido sobre $\mathbb{Z}$ ?

Por supuesto, esto sólo parametriza superficies algebraicas K3, por lo que tendrá que tener infinitas componentes. Una segunda cuestión, si no queremos añadir estructura, es

¿Existe una pila de moduli fina de superficies algebraicas K3 que sea algebraica (ya sea en el sentido de DM o de Artin)?

No es difícil producir superficies K3 con infinidad de automorfismos, así que no espero que la respuesta sea afirmativa, pero quién sabe.

Edito: ya que parece que hay cierta confusión en las respuestas, la cuestión es que estoy preguntando por un espacio de moduli FINO. Soy consciente de que se pueden considerar espacios de moduli de K3 polarizados, y por eso escribí "Por supuesto esto sólo parametrizará superficies K3 algebraicas, por lo que necesitará tener infinitas componentes."

Answer 1

Esto es en respuesta a la segunda pregunta: la pila de todas las superficies K3 no es algebraica. Si se trabaja con los axiomas de Artin, entonces el problema es que existen deformaciones formales que no son efectivas, es decir, se puede escribir un sistema compatible de superficies K3 $X_n \to \mathrm{Spec}(k[t]/(t^{n+1}))$ que no proceden de una superficie algebraica K3 sobre el anillo de series de potencias, al menos cuando el campo $k$ es lo suficientemente grande. Lo aprendí en el artículo de Jason Starr www.math.sunysb.edu/~jstarr/papers/moduli4.pdf (véanse las páginas 14 y 15).

Añadido más tarde: Como menciona Scott en los comentarios, este problema es específico del caso no polarizado. Cualquier deformación formal de un par (X,L) (donde X es una variedad proyectiva, y L es un haz de líneas que da una incrustación proyectiva) es automáticamente algebraica por GAGA formal.

Answer 2

Creo que está buscando esto

http://arxiv.org/pdf/math/0506120

que es lo mismo que:

Rizov, Jordan Pilas de Moduli de polarización $K3$ superficies en característica mixta. Serdica Math. J. 32 (2006), no. 2-3, 131--178.

Se basa en un resultado anterior:

Olsson, Martin C. Degeneraciones semiestables y espacios de periodos para polarizados $K3$ superficies. Duke Math. J. 125 (2004), nº 1, 121--203.

que se basa en el doctorado de Friedman (la prueba algebraica de Piatetski-Shapiro y Shafarevich de Torreli global para K3's).

Suficiente historia para una respuesta, supongo.

Answer 3

¿Por qué no estás contento con el espacio de moduli de los K3 polarizados, es decir, los pares $(X,L)$ donde $L$ ¿es un haz de líneas amplio? Esto es estándar, y esto al menos tiene sentido sobre cualquier campo o $\mathbb Z$ . Y el grupo de automorfismo de $(X,L)$ es finito, ya que es discreto y algebraico.

Si insistes en marcar tus K3 con un isomorfismo $H^2(X,\mathbb Z)\to L_{K3}$ entonces sí, necesitas $H^2(X,\mathbb Z)$ para eso, así que será mejor que trabajes $\mathbb C$ .

Supongo que se puede mirar $H^2(X_{et},\mathbb Z_l)$ en su lugar... Creo que no sería un buen sustituto. Celosías sobre $\mathbb Z_l$ son mucho más fáciles que los entramados sobre $\mathbb Z$ . Incluso si añades todos los prime $l$ y $\mathbb R$ éstas no capturan las clases de isomorfismo de los retículos sobre $\mathbb Z$ .