¿Cómo puedo demostrar $\lim_{n\to\infty} \frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots (z+n)}=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}$ ?

Question

¿Cómo puedo demostrar $$\lim_{n\to\infty} \frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots (z+n)}=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}$$ ?

Esto podría demostrarse si $$\lim_{n\to\infty} \frac{\prod_{k=1}^n (1+\frac{1}{k})}{n} = 1$$ pero no puedo probar esta.

Por favor, ¡ayuda!

Answer 1

Para demostrar que

$\large \lim_{n \to \infty}\frac{\prod_{k=1}^n(1+\frac{1}{k})}{n}=1$

ampliar el numerador, lo que dará como resultado

$\prod_{k=1}^n(1+\frac{1}{k})=\prod_{k=1}^n(\frac{k+1}{k})$

Escribiendo esto explícitamente tenemos

$\frac{2}{1}\times \frac{3}{2} \cdots \times \frac{n}{n-1} \times \frac{n+1}{n}$

Observa que el numerador de la primera fracción, todas las fracciones intermedias y el denominador de la última fracción se anulan, quedando $n+1$

Así

$\large \lim_{n \to \infty}\frac{\prod_{k=1}^n(1+\frac{1}{k})}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}\rightarrow 1$

Answer 2

Pista: una definición de $\Gamma $ es $$\frac{1}{\Gamma(z)} = e^{\gamma z}\cdot z \cdot \prod_{n =1}^{\infty} (1+\frac{z}{n})e^{- \frac{z}{n}}$$ donde $\gamma$ es la constante de Euler

Answer 3

Pista:

\begin{align} \lim_{n\to\infty} \frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots (z+n)} &= \frac{1}{z} \lim_{n \to \infty} \frac{ \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdots \frac{n}{n-1} \right)^z n!}{(1+\frac{z}{1})(1 + \frac{z}{2}) (1 + \frac{z}{3}) \cdots (1 + \frac{z}{n}) \cdot n! } \\ &= \frac{1}{z} \lim_{n \to \infty} \frac{ \left\{ \left( 1 + \frac{1}{1} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{3} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right\}^z}{(1+\frac{z}{1})(1 + \frac{z}{2}) (1 + \frac{z}{3}) \cdots (1 + \frac{z}{n}) } \end{align} usando eso como $n \to \infty$ , $\frac{n}{n-1}, \frac{n+1}{n} \to 1$ .