Sea $f(x)$ denota una función continua estrictamente positiva definida sobre todos los números reales con la propiedad de que $f(2012)=2012$ y $f(x)=f(x+f(x))$ para todos $x$ . Demostrar que $f(x)=2012$ para todos $x$ .
Intento demostrar que f es diferenciable antes de poder hacer $f'(x)=f'(x+f(x))$ . ¿Cómo puedo hacerlo? ¿Es éste el enfoque correcto?
He aquí un contraejemplo a su afirmación como era originalmente . Ahora ha añadido el requisito de que $f$ es continua, lo que invalida esto. Pero como ya había escrito esto cuando vi el cambio, he decidido publicarlo a pesar de todo. $$ f(x) = \begin{cases} 2012 &\text{for $x \in \mathbb{N}$} \\ 2102 &\text{otherwise.} \end{cases} $$
Obviamente $f(x) > 0$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .
Si $x \in \mathbb{N}$ entonces $$ f(x + f(x)) = f(\underbrace{x + 2012}_{\in \,\mathbb{N}}) = 2012 = f(x) \text{.} $$
Si $x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$ entonces $$ f(x + f(x)) = f(\underbrace{x + 2102}_{\in \,\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}}) = 2102 = f(x) \text{.} $$
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