Cualquier conjunto de dos planos de Fano disjuntos por pares es maximal; tres o más planos de Fano deben compartir al menos una línea. La respuesta de Henning está muy por delante en términos de concisión (y, además, es bastante inteligente), pero, francamente, yo no he hecho todo este trabajo. no para publicar una respuesta :)
Pero antes de lanzarme a una tediosa demostración caso por caso de que no existen $3$ o más planos de Fano desunidos por pares Me gustaría hablar un poco sobre lo que sueño que podría resultar un enfoque más agradable para alguien con más perspicacia que yo (posiblemente mi yo futuro).
Es bastante conocido que cualquier par de planos de Fano comparten exactamente $0, 1$ o $3$ líneas (de hecho, hoy he descubierto que cada plano de Fano es disjunto de exactamente $8$ otros, comparte una sola línea con exactamente $14$ otros, y comparte $3$ líneas con exactamente $7$ otros).
Citando un pasaje de Buckard Polsters artículo , YEA WHY TRY HER RAW WET HAT: Un recorrido por el espacio proyectivo más pequeño ,
Existe una única partición del $30$ l en $2$ establece $X$ y $Y$ de 15 cada uno, de modo que cualquier $2$ F en $1$ de los conjuntos tienen exactamente $1$ línea en común.
Puede tomar el $15$ planos de una sola intersección y hacer una bonita imagen de algo llamado cuadrilátero generalizado a partir de ellos (éste es "el blonda", también de su artículo)
![Doily from Polster]()
cuyos puntos están todos etiquetados como planos de Fano y cuyas líneas son Líneas que comparten los planos (hay una gran imagen en el pdf que muestra los planos). Obviamente, no dice nada sobre los pares de planos que son disjuntos, pero me gustaría creer que se puede obtener alguna información considerando cómo interactúan las dos particiones entre sí. Como nota al margen, el artículo es muy informativo y divertido de leer.
La definición habitual es que se consideran dos planos de Fano equivalente si tienen el mismo conjunto de líneas. Según esta definición, hay $30$ planos de Fano no equivalentes que separaremos arbitrariamente en una de dos categorías:
![fundamentally different planes]()
Los primeros no contienen la línea $\{1,2,3\}$ y hay $4! = 24$ de estos. La segunda sí contiene la línea $\{1,2,3\}$ y hay $3! = 6$ de estos.
Busquemos ahora planos de Fano disjuntos por pares (que no compartan líneas). Buscaremos en la primera categoría de planos, los que no contienen la recta $\{1,2,3\}$ . Me resulta más cómodo utilizar el set $\{1,2,3,x,y,z,w\}$ en lugar de $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ como etiquetas de puntos.
Sin pérdida de generalidad, comenzaremos con el plano
![starting plane]()
cuyas líneas son
\begin{array}{ccc} 12x & 13y & 23z\\ 1zw & 2yw & 3xw\\ &xyz& \end{array}
e intentar encontrar un plano disjunto permutando $\{x, y, z, w\}$ . Una permutación de este tipo no debe tener puntos fijos: si $x$ no se movió, la línea $12x$ se conservaría (y lo mismo para $y$ y $z$ ), mientras que si $w$ se fijaron, la línea $xyz$ se conservaría.
Por lo tanto, nuestra permutación es $4$ -ciclo ( $a \mapsto b \mapsto c \mapsto d \mapsto a$ ), o un producto de $2$ -ya que son las únicas permutaciones de $4$ letras sin puntos fijos.
La lista de productos de $2$ -ciclos es más bien pequeño
\begin{align*}x \leftrightarrow y &\text{ and } z \leftrightarrow w \\ x \leftrightarrow z &\text{ and } y \leftrightarrow w \\ x \leftrightarrow w &\text{ and } y \leftrightarrow z \end{align*}
y para cada una, una de las líneas que contienen $w$ se mantiene (por ejemplo, para $x \leftrightarrow y \text{ and } z \leftrightarrow w$ la línea $1zw$ ). Por lo tanto, debemos utilizar algún $4$ -para permutar las letras, y sin pérdida de generalidad, podemos elegir $x \mapsto y \mapsto z \mapsto w \mapsto x$ con lo que se obtiene el plano
![enter image description here]()
con líneas \begin{array}{ccc} 12w & 13x & 23y\\ 1yz & 2xz & 3zw\\ &xyw& \end{array}
que se ve fácilmente que es disjunta de nuestro plano de partida.
Ahora intentamos añadir un tercer plano, uno que siga evitando la línea $\{1,2,3\}$ . Tenemos suficientes líneas que evitar que es mejor tenerlas en cuenta, e intentar colocar $x, y, z, w$ en torno a las restricciones:
![possibilities]()
En la imagen, las letras verdes son los únicos valores posibles para un punto determinado (no podemos tener $x$ en la línea con $1$ y $2$ puesto que ya hemos utilizado la línea $12x$ y así sucesivamente para las rectas). El hecho de que los dos círculos hayan sido líneas $xyz$ y $xyw$ significa que no podemos utilizar ambos $x$ y $y$ en la línea circular. Así, cada punto tiene dos posibilidades. Haciendo una sola elección, el resto de los puntos quedan completamente determinados.
Por desgracia, ninguna de las dos opciones tiene un final feliz:
![no good]()
Así que recapitulando, sólo hemos conseguido encontrar un lamentable par de planos de Fano disjuntos del $24$ que evitan la línea $\{1,2,3\}$ . Pero tal vez podamos encontrar un avión que contenga $\{1,2,3\}$ que sea disjunta de la nuestra (alerta de spoiler: no podemos).
Utilizando la plantilla anterior (pero $x, y, z, w$ en lugar de $4, 5, 6, 7$ ) para un plano que contenga $\{1,2,3\}$ escribimos en verde las posibilidades de los tres puntos por etiquetar. También tenemos las mismas líneas Prohibidas de nuestros dos planos disjuntos.
![no good 2: the ungoodening]()
Utilizando cada una de las líneas Prohibido con dos letras (por ejemplo, $2$ no puede ir arriba porque la línea $2yw$ ya se ha utilizado), podemos reducir las posibilidades.
Pero, para nuestra consternación compartida, $2$ se necesita en dos lugares, y no podemos encontrar otro plano de Fano, disjunto de nuestros dos. Como hemos estado trabajando en plena generalidad, ningún conjunto de dos planos de Fano disjuntos puede ampliarse a un conjunto de tres o más planos de Fano disjuntos por pares.
