Así, en primer lugar, la expresión $T(p(1))$ no tiene sentido. El símbolo $p(x)$ se supone que representa un polinomio. Así que su cálculo se vería así:
Si $p(x) = 1$ entonces $p'(x) = 0$ y así $p'(x^2) = 0$ . Así que $T(1) = (x+1)(0) = 0$ .
Si $p(x) = x + 1$ entonces $p'(x) = 1$ y así $p'(x^2) = 1$ . Así que $T(x + 1) = (x + 1)(1) = x + 1$ .
Si $p(x) = x^2 + x$ entonces $p'(x) = 2x + 1$ y así $p'(x^2) = 2x^2 + 1$ . Así que $T(x^2 + x) = (x + 1)(2x^2 + 1) = 2x^3 + 2x^2 + x + 1$ .
Ahora tienes que encontrar cada una de tus respuestas en $B'$ coordenadas.
$T(1) = 0$ que es $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ en $B'$ coordenadas.
$T(x + 1) = x + 1$ que es el cuarto elemento de $B'$ . Así que $T(x + 1) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ .
$T(x^2 + x) = 2x^3 + 2x^2 + x + 1$ . No es obvio cómo escribir esto como una combinación lineal de elementos en $B'$ pero podemos averiguarlo utilizando coordenadas "estándar" en $P_3$ . Es decir, utilizando coordenadas de la base $\{x^3,x^2,x,1\}$ . El sistema lineal resultante es:
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$
Dónde $\mathbf{x}$ es el $B'$ -vector de coordenadas de $2x^3 + 2x^2 + x + 1$ . Alguna reducción de fila da:
$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$
Y así la matriz para $T$ es:
$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$
