encontrar la representación matricial de $T$ en relación con $B,B'$ donde $T(p(x)) = (x+1)p'(x^2)$

Question

Hola realmente necesito ayuda con esta pregunta de álgebra lineal.

Sea $T:P_2\to P_3$ se define por $T(p(x)) = (x+1)p'(x^2)$ y que $B = (1,x+1,x^2+x)$ y $B' = (x^3,x^3+x,x^2+x,x+1)$ ser ordenado base para $P_2$ y $P_3$ respectivamente.

a.) hallar la representación matricial de $T$ en relación con $B,B'$

b.) Utiliza tu respuesta de la parte a.) para calcular $T(x^2+3x+5)$

Hasta ahora he evaluado:

$T(p(1)) = 0$

$T(p(x+1)) = 2x^2+4x+2$

$T(p(x^2+x)) = 4x^4+10x^3+8x^2+2x$

pero aquí es donde me confundo, el tercer polinomio tiene grado 4 que no está en $P_3$ ¿He cometido algún error en mis cálculos o estoy haciendo las cosas de forma totalmente errónea? Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Así, en primer lugar, la expresión $T(p(1))$ no tiene sentido. El símbolo $p(x)$ se supone que representa un polinomio. Así que su cálculo se vería así:

Si $p(x) = 1$ entonces $p'(x) = 0$ y así $p'(x^2) = 0$ . Así que $T(1) = (x+1)(0) = 0$ .

Si $p(x) = x + 1$ entonces $p'(x) = 1$ y así $p'(x^2) = 1$ . Así que $T(x + 1) = (x + 1)(1) = x + 1$ .

Si $p(x) = x^2 + x$ entonces $p'(x) = 2x + 1$ y así $p'(x^2) = 2x^2 + 1$ . Así que $T(x^2 + x) = (x + 1)(2x^2 + 1) = 2x^3 + 2x^2 + x + 1$ .

Ahora tienes que encontrar cada una de tus respuestas en $B'$ coordenadas.

$T(1) = 0$ que es $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ en $B'$ coordenadas.

$T(x + 1) = x + 1$ que es el cuarto elemento de $B'$ . Así que $T(x + 1) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ .

$T(x^2 + x) = 2x^3 + 2x^2 + x + 1$ . No es obvio cómo escribir esto como una combinación lineal de elementos en $B'$ pero podemos averiguarlo utilizando coordenadas "estándar" en $P_3$ . Es decir, utilizando coordenadas de la base $\{x^3,x^2,x,1\}$ . El sistema lineal resultante es:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Dónde $\mathbf{x}$ es el $B'$ -vector de coordenadas de $2x^3 + 2x^2 + x + 1$ . Alguna reducción de fila da:

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

Y así la matriz para $T$ es:

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$