$k$ en igualdad trigonométrica $\sin(a) =\sin(b)$

Question

En un examen hay una pregunta: "Resolver para $x$ en el intervalo $[-\pi,\pi]$ donde $\sin(2x) = \cos(3x)$

Ya lo sé:

$\cos(x) = \sin(\frac12\pi - x)$

Así que puedes reescribir la ecuación a:

$\sin(2x) = \sin(\frac12\pi - 3x)$

Pero luego en la solución, el siguiente paso es este:

$2x = \frac12 \pi - 3x + 2\pi k$ o $2x = \pi - (\frac12\pi - 3x) + 2\pi k$

¿Qué es el $2\pi k$ ¿Para qué?

Más tarde lo simplifican a:

$x = \frac{1}{10}\pi + \frac25\pi k$ o $x = -\frac12\pi + 2\pi k$

y luego va así:

$x = \frac{1}{10}\pi - 2 * \frac25\pi = -\frac7{10}\pi$

$x = -\frac12\pi$

$x = \frac1{10}\pi - 1 * \frac25\pi = -\frac3{10}\pi$

$x = \frac1{10}\pi$

$x = \frac{1}{10}\pi + 1 * \frac25\pi = \frac12\pi$

$x = \frac{1}{10}\pi + 2 * \frac25\pi = \frac9{10}\pi$

¿Cómo funciona esa parte? No encuentro ninguna teoría al respecto. ¿Por qué $k$ sustituido por el intervalo $[-2,2]$ ?

Answer 1

Ambos $\sin$ y $\cos$ son periódicas con un período de $2\pi$ . Esto significa que $$\ldots=\sin(x-2\pi-2\pi)=\sin(x-2\pi)=\sin(x)=\sin(x+2\pi)=\sin(x+2\pi+2\pi)=\ldots$$

Es decir, para cada número entero (positivo, negativo o cero) tenemos $\sin(x)=\sin(x+2\pi k)$ y lo mismo para $\cos$ .

Cuando resolvemos una igualdad como $\cos(x)=1$ entonces los resultados son $x=0,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots$ pero si la pregunta especificaba $x$ está en un intervalo determinado, entonces se puede calcular el valor exacto de $k$ (o varios valores posibles).

Por ejemplo, $\sin(x)=0$ para $x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ entonces sabemos que $x=0$ ya que la solución general es $x=2\pi k$ pero para $k\neq 0$ tenemos que $2\pi k\notin[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ .

En tu pregunta, una vez que sepas que $x\in[-\pi,\pi]$ entonces el valor de $k$ está determinada:

Si $2x=\frac12\pi-3x+2\pi k$ podemos escribir $x=\frac1{10}\pi+\frac4{10}\pi k$ . Los únicos valores de $k$ para lo cual $x\in[-\pi,\pi]$ son $k=\pm1,\pm2,0$ .

El otro caso, os dejo descubrir los valores de $k$ solo.