demostrar que existe algún número $x$ tal que $x^{179}+\frac{163}{1+x^2+\sin^2x}=119$

Question

Demostrar que existe un número x tal que $ x^{179}+\frac{163}{1+x^2+\sin^2x}=119$

Realmente quiero saber el proceso general para probar algo así...

Answer 1

Primer aviso $1+x^2+\sin^2(x)\geq 1$ por lo que el denominador nunca es $0$ y la función $f(x)=x^{179}+\frac{163}{1+x^2+\sin^2(x)}-119$ está definida y es continua en todas partes.

$f(2)>2^{179}-119>0$ , $f(-2)<-2^{179}+163-119<0$ por lo que por el teorema del valor intermedio existe un $x_0\in (-2,2)$ satisface $f(x_0)=0$ que es la solución de la ecuación dada.

Answer 2

El término dominante es $x^{179}$ de modo que $x\to\pm\infty$ , $f(x)\to\pm\infty$ . En particular, el Teorema del Valor intermedio garantiza la existencia de al menos un $x$ tal que $f(x)=c$ para cualquier $c\in\Bbb R$ .