Coeficientes de una función racional

Question

Se trata esencialmente de una pregunta de definición.

Dada una función racional $\frac{p(x)}{q(x)}$ ¿cuál sería la $x^k$ coeficiente de esta función racional media (en particular para el negativo $k$ 's). ¿Existe algún tipo de ampliación $$\frac{p(x)}{q(x)} = \sum_{-\infty}^\infty a_kx^k$$ donde se diría $a_k$ es el coeficiente de $x^k$ ?

¿Cómo hallarías el coeficiente? Una función racional muy sencilla sería $\frac{(x - 1)}{(x - 2)(x - 3)}$ . ¿Cómo encontraría el $x^{-1}$ ¿coeficiente de esto?

Gracias por cualquier ayuda y aclaración.

Answer 1

No existe tal expansión que converja en todas partes. Para ver esto, considere lo que sucede a ambos lados de su ecuación como $x\to 0$ y $x\to \infty$ .

No obstante, puede ampliar $p(x)/q(x)$ como series diferentes que convergen en torno a distintos valores de $x$ . Por ejemplo, cerca de $0$ tienes $$\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} = \sum_{k=0}^{\infty}\left[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^k - \frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^k\right] x^k,$$ que puedes deducir utilizando fracciones parciales y la fórmula de las series geométricas. Del mismo modo, expandiendo $p(y^{-1})/q(y^{-1})$ con respecto a $y$ le dará una serie de potencias en $x^{-1}$ válido como $x\to \infty$ :

$$\begin{align*}\frac{p(y^{-1})}{q(y^{-1})} &= -\frac{1}{6} + \frac{2}{3} \frac{1}{1-3y} - \frac{1}{2} \frac{1}{1-2y}\\ &= -\frac{1}{6} + \sum_{k=0}^\infty \left[\frac{2}{3} 3^k - \frac{1}{2} 2^k\right] y^k \\ &= -\frac{1}{6} + \sum_{k=0}^\infty \left[\frac{2}{3} 3^k - \frac{1}{2} 2^k\right] x^{-k}\end{align*}.$$

Así que en cierto sentido se podría decir que el coeficiente de $x^{-1}$ es 1, cerca del infinito.

Answer 2

Toda función racional tiene una expansión de la forma $$\sum_{k=r}^{\infty}a_kx^k$$ donde $r$ puede ser positivo, cero o negativo, pero en cualquier caso es finito. Si $r\ge0$ entonces el coeficiente de $x^{-1}$ es cero, como muestra la serie del usuario7530 para su ejemplo. Si $r\lt0$ entonces $a_{-1}$ se puede hallar mediante el siguiente procedimiento: sea $s=-r$ multiplica la función racional por $x^s$ diferenciar $s-1$ veces, evalúe en $x=0$ y dividir por $s-1$ factorial.