¿Una interpretación geométrica de la independencia?

Question

Consideremos el conjunto de variables aleatorias con media cero y segundo momento finito. Se trata de un espacio vectorial, y $\langle X, Y \rangle = E[XY]$ es un producto interno válido sobre él. Las variables aleatorias no correlacionadas corresponden a vectores ortogonales en este espacio.

Preguntas:

(i) ¿Existe una interpretación geométrica similar para variables aleatorias independientes en términos de este espacio vectorial?

(ii) Una colección de variables aleatorias gaussianas conjuntamente no están correlacionadas si y sólo si son independientes. ¿Es posible dar una interpretación geométrica a esta afirmación?

Answer 1

Esto no es una respuesta, pero ahora no se me permite hacer comentarios. Su espacio no es un espacio de producto interior, ya que de $E[X X]=0$ se deduce que $X=0$ sólo se cumple a.e. Para que sea un espacio vectorial, hay que considerar el espacio cociente. Dos variables aleatorias están en la misma clase de congruencia si y sólo si son iguales a.e. A continuación, puede definir su producto interno en ese espacio cociente. El producto interno es independiente del representante.

Answer 2

Bueno, yo tampoco tengo la respuesta pero siempre me he preguntado usando la comparación de ortogonalidad en el caso de los espacios de Hilbert gaussianos, si podría haber alguna geometría no euclidiana en la que pudiéramos tener una definición peculiar de ortogonalidad para la que esta noción coincidiera con la independencia de las variables aleatorias.

Saludos