¿Se deduce que para conjuntos disjuntos $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$ que para cualquier conjunto $P(X \cup Y) + P(X \cap Y) = P(X) +P(Y)$ ?

Question

Esta es una pregunta sobre la teoría de la probabilidad. A menudo se ve que una medida de probabilidad se caracteriza por ser aditiva "para disjuntos $X,Y$ que tenemos: $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$ "pero a veces como aditivo, así: $P(X \cup Y) + P(X \cap Y) = P(X) +P(Y)$ . Supongo que lo que pregunto es cómo se demuestra la versión de inclusión/exclusión de la aditividad a partir de la versión para conjuntos disjuntos. (La inversa es trivial).

Answer 1

Dividir $X$ en la unión disjunta de $X \cap Y$ y algún otro conjunto $A$ y dividir $Y$ en la unión disjunta de $X \cap Y$ y algún otro conjunto $B$ .

Answer 2

$X = (X\setminus Y) \cup (X\cap Y)$ Por lo tanto $P(X) = P(X\setminus Y) + P(X\cap Y)$ .
Por otro lado, $X\cup Y = (X\setminus Y)\cup Y$ y $Y\cap (X\setminus Y) = \emptyset$ Por lo tanto: $$P(X) + P(Y) = P(X\setminus Y)+P(X\cap Y)+P(Y) = P(X\setminus Y \cup Y) + P(X\cap Y) = P(X\cup Y)+P(X\cap Y)$$