Spivak Capítulo 5 Problema 11/12 Comparación de límites

Question

Estos dos problemas están bastante relacionados y no estoy seguro de mis respuestas. *Le agradecería que juzgara mi redacción de pruebas, el inglés no es mi lengua materna y este otoño empezaré un curso basado en pruebas en la Uni.

11. Supongamos que $f(x)=g(x)$ cuando $0<|x-a|<\delta$ . Demostrar que $lim_{x \to a} f(x)=lim_{x \to a} g(x)$

Lo que hice:

Por cada $\epsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que $|f(x)-l|>\epsilon$ siempre que $0<|x-a|<\delta$ . Así que.., $lim_{x \to a} f(x)=l=lim_{x \to a} g(x)$ . En la otra dirección, $lim_{x \to a} f(x)=l=lim_{x \to a} g(x)$ implica $lim_{x \to a} f(x)-g(x)=0$ . De eso, $|(f(x)-g(x))-0|<\epsilon$ para algunos $\epsilon>0$ por lo que existe un $\delta$ tal que $0<|x-a|<\delta$ .

12. (a) Supongamos que $f(x)\leq g(x)$ para todo x. Demuestre que $lim_{x \to a} f(x)\leq\lim_{x \to a} f(x)$ siempre que existan estos límites. Haz lo mismo ahora sólo con la desigualdad.

(b) ¿Cómo pueden debilitarse estas hipótesis?

Lo que hice:

(a)Si $f(x)\leq g(x)$ para todo x, entonces $g(x)-f(x)\geq 0$ para cada $x$ en $R$ . Obtenemos $\lim(g(x)-f(x))\geq 0$ y, por tanto $lim_{x \to a} g(x)\geq\lim_{x \to a} f(x)$

(b) Decir que $f(x)\leq g(x)$ para todos $x$ pero $x_0$ .

Conclusión

Así que me encantaría que me ayudaras con esas dos preguntas. En cuanto a la primera, tengo más dudas sobre si la prueba de la segunda dirección es correcta y si podría simplemente repetir la prueba sin incluir la igualdad.

Answer 1

Si sabe que $\left|f\left(x\right)-l\right|<\epsilon$ se deduce inmediatamente que $\left|g\left(x\right)-l\right|<\epsilon$ .

1. Supongamos la hipótesis: $lim_{x\rightarrow a}f(x)=l$

2. Tenga en cuenta que queremos demostrar $lim_{x\rightarrow a}g(x)=l$ . Para demostrar que un límite es igual a un valor, en general, se empieza diciendo "sea positivo $\epsilon$ se dé". Que lo positivo $\epsilon$ se dará.

3. Por (1), existe un $\delta_{1}>0$ tal que si $0<\left|x-a\right|<\delta_{1}$ entonces $\left|f\left(x\right)-l\right|<\epsilon$ .

4. Supongamos que existe un $\delta>0$ tal que si $0<\left|x-a\right|<\delta$ entonces $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ .

5. Sea $\delta'=\min\left(\delta,\delta_{1}\right)$ y asumir que $x$ es un número real tal que $0<\left|x-a\right|<\delta'$ .

6. En virtud de cómo $\delta'$ sabemos que tanto $0<\left|x-a\right|<\delta_{1}$ y $0<\left|x-a\right|<\delta$ . Por (3), $\left|f\left(x\right)-l\right|<\epsilon$ . Por (4), $f(x)=g(x)$ . Por lo tanto, $\left|g\left(x\right)-l\right|<\epsilon$ .

Conclusión: Empezamos diciendo "vamos $\epsilon>0$ ser dado" y terminar con "existe un $\delta'>0$ tal que si $0<\left|x-a\right|<\delta'$ entonces $\left|g\left(x\right)-l\right|<\epsilon$ .

Esta es la definición de $lim_{x\rightarrow a}g(x)=l$ .