¿Podría alguien sugerirme cómo aprender algo de teoría básica de esquemas? Tengo dos libros de geometría algebraica, a saber, "Diophantine Geometry" de Hindry y Silverman y "Algebraic geometry and arithmetic curves" de Qing Liu. He tenido dificultades para demostrar la equivalencia de muchas definiciones. Por ejemplo, Hindry y Silverman definen una variedad afín como un subconjunto algebraico irreducible de $\mathbb{A}^n$ con respecto a la topología de Zariski. Por otra parte, Liu define una variedad afín como el esquema afín asociado a un álgebra finitamente generada sobre un campo.
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He encontrado el libro de Kenji Ueno Geometría algebraica 1: De las variedades algebraicas a los esquemas para introducir la teoría básica de los esquemas. Bueno, para ser justos, éste es sólo el primero de una serie de tres libros sobre el tema escritos por el mismo autor. Así que este primer volumen básicamente sólo desarrolla las definiciones de un esquema afín primero y luego de un esquema en general "pegando" juntos esquemas afines. No entra en la cohomología ni en temas más avanzados, que son objeto de los otros dos libros.
Sin embargo, lo que realmente me gusta es que motiva muy cuidadosamente el pasaje de la definición de una variedad algebraica afín como un conjunto algebraico irreducible en un espacio afín $\mathbb{A}_{k}^{n}$ a la definición de una variedad afín utilizando esquemas, que es donde estás teniendo algún problema. Lo que hace es que empieza haciendo algo de geometría algebraica en el sentido clásico, es decir, sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ en el primer capítulo del libro.
A continuación, el autor demuestra que existe una correspondencia entre los puntos de un conjunto algebraico $V$ y los ideales maximales de su anillo de coordenadas asociado $k[V]$ donde un punto $(a_1, \dots , a_n) \in V$ corresponde al ideal máximo de $k[V]$ determinado por el ideal $(x_1 - a_1 , \dots , x_n - a_n) \in k[x_1, \dots, x_n]$ es decir, una correspondencia entre los puntos de $V$ y los "puntos" del espectro máximo $\text{max-Spec}(k[V])$ del anillo de coordenadas $k[V \, ]$ .
A continuación, Ueno define una variedad algebraica afín como un par $(V, k[V \, ] )$ donde $V$ es un conjunto algebraico. Pero luego argumenta que se puede ir un poco más allá y considerar el par $( \text{max-Spec}(R), R )$ donde $R$ es un $k$ álgebra. Pero aquí Ueno argumenta que si la intención original era estudiar los conjuntos de soluciones de ecuaciones polinómicas, entonces dónde está la geometría y dónde se esconden las ecuaciones si una variedad algebraica se define como este par $( \text{max-Spec}(R), R )$ ?
Lo interesante es que si el $k$ álgebra $R$ está finitamente generada sobre $k$ entonces
$$ R \simeq \frac{ k[x_1 , \dots , x_n] }{I}$$
de modo que, como consecuencia
$$ \text{max-Spec}(R) = V(I)$$
para que de nuevo tengas algunas ecuaciones (todo esto se hace y se explica detalladamente en el libro). Entonces el autor (re)define una variedad algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ (recuerde que está haciendo todo en el sentido clásico) como un par $( \text{max-Spec}(R), R )$ donde $R$ es una $k$ álgebra.
Y luego al final del primer capítulo el autor motiva la necesidad de una teoría más general, por ejemplo teniendo en mente las necesidades de la teoría de números, porque como todo se hizo en el contexto de un campo algebraicamente cerrado, entonces los argumentos no funcionan para los campos (y anillos) de interés en la teoría de números. En particular, se observa cómo una extensión de las definiciones para incluir estos casos necesitaría tener en cuenta no sólo el conjunto de ideales máximos, sino el conjunto de todos los ideales primos.
A continuación, el capítulo dos desarrolla primero algunas propiedades de este conjunto de ideales primos, o espectro primario de un anillo, convirtiéndolo en un espacio topológico con la topología de Zariski... y luego define lo necesario para poder definir un esquema afín y un esquema (me refiero a los conceptos de gavilla de anillos, espacio anillado, etc).
No es una historia corta, por supuesto, pero de nuevo prefiero este tipo de enfoque al principio, que tener que lidiar con una definición inmotivada (y difícil) que se esfuerza por ser muy general pero no tengo ni idea de dónde viene y cuál es su propósito.
Ten en cuenta que el libro que recomendó Arturo también está muy bien pero supone que ya sabes algo de geometría algebraica y su nivel es superior al libro de Ueno.
Deberías echarle un vistazo y ver si te gusta, el libro tiene una buena cantidad de ejemplos y algunos ejercicios intercalados en el texto también. Tendrás que estudiar de otras fuentes también, pero creo que este libro hace un trabajo bastante bueno en la motivación de las definiciones abstractas.
Espero que esto ayude al menos un poco.
Yvan Velenik
Puntos
1
También estoy aprendiendo sobre gavillas y esquemas, y los apuntes de Ravi Vakil me están resultando muy útiles: http://math216.wordpress.com/
Lorin Hochstein
Puntos
11816
Aprendí gavillas y esquemas de Hartshorne (como mucha gente), pero encontré ¿Por qué esquemas? de David Eisenbud y Joe Harris una ayuda inestimable. El libro fue reescrito como La geometría de los esquemas y publicado en la serie amarilla GTM de Springer-Verlag (aquí está el Enlace Amazon ).
