Función $f(t)=\frac{t}{2\epsilon}\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2\epsilon}\right)$ en $t=0$

Question

Mi profesor dijo que la función (rect es el función rectangular ):

$$f(t)=\frac{t}{2\epsilon}\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2\epsilon}\right)$$

en $t=0$ es siempre $0$ para cada valor de $\epsilon$ . ¿Por qué? Si $\epsilon=0$ Lo será:

$$f(0)=\frac00\operatorname{rect}(0/0)$$

que es una forma indeterminada (tal vez $\operatorname{rect}(0/0)=\infty$ ).

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Añadiré un subíndice $\varepsilon$ a su función $f$ .

Para cualquier función de prueba $\varphi$ se obtiene $$ \langle \varphi,f_\varepsilon\rangle = \int_{-\varepsilon}^\varepsilon\frac{t}{2\varepsilon}\varphi(t)\,dt, $$ y tomando valores absolutos, $$ \lvert\langle \varphi,f_\varepsilon\rangle\rvert \le\int_{-\varepsilon}^\varepsilon\frac12\lvert\varphi(t)\rvert\,dt \to0\quad\text{as $ \varepsilon\to0 $}, $$ para que $f_\varepsilon\to0$ en el sentido de distribuciones como $\varepsilon\to0$ .

Por supuesto, las distribuciones no tienen valores puntuales, por lo que puede parecer absurdo hablar del valor en $t=0$ aquí, pero se puede hacer una excepción para las distribuciones derivadas de funciones continuas - en este caso, la constante cero.