¿Existiría tal identidad polinómica? (relacionada con la suma de cuatro cuadrados)

Question

Sea $f_1,f_2,f_3,f_4,f_5 \in \mathbb{Q}[x]$ sea lineal y coprimos y no todos constantes.

¿Es posible que $f_1^2+f_2^2+f_3^2+f_4^2=f_5^2$ ?

Supongo que la respuesta es negativa.

Si esto es posible, resolver $f_5(x)=N$ daría representación determinista de $N$ como suma de cuatro cuadrados (existen algoritmos probabilísticos).

No pude resolverlo igualando coeficientes.

¿Cuál es el menor $k$ s con las mismas restricciones $f_1^2+f_2^2+\cdots+f_k^2=f_{k+1}^2$ ?

Answer 1

Para ver que $f_{1}$ , $f_{2}$ , $\ldots$ , $f_{k}$ deben ser múltiplos escalares de $f_{k+1}$ introduzca la raíz de $f_{k+1}$ en ambos lados de la ecuación.

Answer 2

La respuesta sería positiva si no hubiera ninguna condición sobre la racionalidad de los coeficientes. Con esta condición la respuesta es negativa. En efecto, supongamos primero que $f_5$ no es constante. Entonces $f_5(t) = 0$ para algunos $t \in \mathbb{Q}$ . Sustituyéndolo en la ecuación se obtiene $\sum f_i^2(t) = 0$ por lo que cada $f_i(t) = 0$ como sobre los racionales. De ello se deduce que todos $f_i$ son proporcionales a $f_5$ . Por otra parte, si $f_5$ es constante entonces mirando los coeficientes principales se ve que la suma de sus cuadrados es cero, por lo que cada coeficiente es cero, y así todos $f_i$ también son constantes.

Obsérvese que el mismo argumento sirve para un número arbitrario de cuadrados y para cualquier grado de polinomios .

En $\mathbb{C}$ es fácil dar un ejemplo. Tomemos $f_1 = x$ , $f_2 = \sqrt{-1} x$ , $f_3 = 0$ , $f_4 = f_5 = 1$ .