¿Cómo puedo demostrar que $P\{|(X-\mu_X)+(Y-\mu_Y)| \ge k\sigma\} \le (2(1+\rho))/k^2$ ?

Question

Sea $\sigma^2$ sea la varianza común de las variables aleatorias $X$ y $Y$ siendo su coeficiente de correlación $\rho$ .

Demuestra que $\forall k>0$ , $P\{|(X-\mu_X)+(Y-\mu_Y)| \ge k\sigma\} \le (2(1+\rho))/k^2$ .

Sé que esto se parece a la desigualdad de Chebyshev: $P\{|X-\mu_x| \ge k\sigma \} \le 1/k^2$ . Sin embargo, me cuesta encontrar la forma de aplicar la desigualdad de Chebyshev para demostrar la desigualdad anterior. ¿Tendría que utilizar una desigualdad diferente, como la desigualdad de covarianza o la desigualdad de Minkowski? ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Sólo para ampliar whuber (y darte una respuesta oficial), supongamos que tomas $Z=X+Y$ y luego hallar la media y la varianza de esta variable aleatoria. Tienes la media:

$$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(X+Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y) = \mu_X + \mu_Y,$$

y la varianza:

$$\mathbb{V}(Z) = \mathbb{V}(X+Y) = \mathbb{V}(X) + 2 \cdot \mathbb{C}(X,Y) + \mathbb{V}(Y) = \sigma^2 + 2 \rho \sigma^2 + \sigma^2 = 2(1+\rho) \sigma^2.$$

Aplicación de Desigualdad de Chebychev a $Z$ se obtiene la desigualdad deseada.