Si $v_{a \dot{b}}$ transforma como un cuatro-vector, ¿qué $v_{a}^{\dot{b}}$ describir?

Question

El $( \frac{1}{2}, 0)$ representación del grupo de Lorentz que actúa sobre la izquierda-quirales spinors $\chi_a$, $( 0,\frac{1}{2} )$ de la representación en el derecho quirales spinors $\chi^{\dot a}$.

El $( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = ( \frac{1}{2}, 0) \otimes ( 0,\frac{1}{2} ) $ representación actúa, por tanto, sobre los objetos con un punteado y uno undotted índice. Mi ingenuo, primera conjetura sería que el $( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $ representación actúa sobre los objetos con una menor undotted y uno superior de puntos de índice: $v_{a}^{\dot{b}}$. Una parte superior de puntos de índice transforma como un derecho-quirales spinor, un menor undotted como de izquierda quirales spinor.

Bastante sorprendente para mí es que $v_{a \dot{b}}= v_\mu \sigma^\mu_{a \dot{b}}$ transforma como un cuatro-vector y $v_{a}^{\dot{b}}$ transforma de manera diferente, debido a la transformación de la conducta de un menor de puntos índice es diferente que la de un superior de puntos de índice.

¿Por qué $v_{a \dot{b}}$ transforman como un cuatro-vector y no el ingenuo primera conjetura $v_{a}^{\dot{b}}$? ¿Hay algún nombre para la transformación de los objetos como $v_{a}^{\dot{b}}$, así como de izquierda quirales spinors, haga quirales spinors o cuatro vectores se definen por su transformación en el comportamiento?

Answer 1

En primer lugar, no importa si los índices son hacia arriba o hacia abajo cuando usted pregunte lo que la representación de un objeto vidas, ya que la subida y bajada de las versiones son equivalentes. Tanto en $\chi_a$ $\chi^a$ dar objetos en el $(\frac{1}{2},0)$ rep, y de manera similar para punteada. La relación entre los dos es la transformación lineal dada por $\chi^a=\epsilon^{ab}\chi_b$ (sólo un cambio de base). Las matrices que se le da a las transformaciones de arriba abajo y luego son relacionados por una similitud de transformación (conjugación con la epsilon tensor, o, equivalentemente, combinado inversa y transpuesta).

Luego de un objeto en la $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ rep puede ser descrito en un par de maneras diferentes: $v_a^\dot{b}$, o, equivalentemente, $v_{a\dot{b}}$ son los más obvios si conoces $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=(\frac{1}{2},0)\otimes(0,\frac{1}{2})$ (de nuevo, con algunos $\epsilon$ moverse entre las diferentes descripciones/bases). Pero no pasa a ser otra natural, y más familiar, base para elegir. La matriz de cambio de base para llegar a esta es la colección de $\sigma^\mu_{a \dot{b}}$ de las matrices de Pauli. (Usted puede pensar en esto, si ayuda, como un $4\times 4$ matriz, con $^\mu$ índices en las columnas, y $_{a\dot{b}}$ los índices de las filas). La adecuada conjugación por esto toma un producto tensor de $SU(2)$ matrices para una transformación de Lorentz de un vector, o viceversa.

Así que la respuesta es que ninguna de las estructuras de índices sugieren describir la misma representación, sólo en una base diferente. La elección es sólo una cuestión de conveniencia, y siempre hay algunos lineal mapa que se mueve de uno a otro.

Answer 2

Con el antisimétrica estructura en Spinors, necesitamos definir un orden para los índices en el convenio de sumación de Einstein con el fin de omitir los índices sin hacer firmar errores por todo el lugar. El estándar (por ejemplo, Wess & Bagger) convención es que para los objetos en la $(1/2, 0)$ tenemos un Norte-Este a Sur-Oeste de la regla, es decir, $$ \phi \psi \equiv \phi^\alpha \psi_\alpha = - \psi_\alpha \phi^\alpha \neq \psi \phi$$ Para el punteado de los índices de la $(0, 1/2)$ rep el orden es al revés $$ \bar \chi \bar \xi = \bar \chi_{\dot \beta} \bar \xi^{\dot \beta} $$ Un spinor bilineal que se transforma como un vector es ahora construced mediante la combinación de $$ \phi \sigma^\mu \bar\xi \equiv \phi^\alpha \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \bar \xi^{\dot\beta}$$ o por la combinación de $$ \bar \xi \bar \sigma^\mu \phi \equiv \bar \xi_{\dot \beta} \bar \sigma^{\mu\, \dot \beta \alpha} \phi_\alpha $$ Tenga en cuenta que en el segundo caso he hecho uso de $\bar \sigma$, que tiene componentes $$\left( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \sigma^i \right) $$ Uno podría, por supuesto, también el uso de un no-norma índice de pedidos, pero entonces uno no puede omitir la spinor índices sin confundir a la gente $$ V^\mu = \phi^\alpha {\sigma^\mu_\alpha}^{\dot \beta} \bar \xi_{\dot \beta} = - \phi^\alpha \sigma^\mu_{\alpha \dot\beta} \bar \xi^{\dot \beta} = - \phi \sigma^\mu \bar \xi = - V^\mu\vert_\text{standard} $$