Demostrando que $f$ tiene un módulo de continuidad logarítmico

Question

Un módulo de continuidad es una función continua, creciente y cóncava $\omega:[0, \infty)\to [0, \infty)$ tal que $\omega(0)=0$ . Decimos que una función $f:X\to \mathbb{R}$ es $\omega$ -Función continua de Hölder si para alguna constante positiva $C$ tenemos $$ |f(x)-f(y)|\leq C\omega(d(x,y)) \quad \text{for all } x,y\in X. $$ Si $f$ es un $\omega$ -Hölder continua, definimos $$ \text{Hol}_\omega(f)=\sup_{x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{\omega(d(x,y))}. $$ Nos referimos a $C_{b}(X,\mathbb{R})$ como el espacio de Banach de todos los funciones continuas acotadas de valor real dotadas de su supremum norma $\|f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f(x)|$ . Utilizamos la notación $C^{\omega}(X)$ para denotar el espacio de todos los valores reales acotados $\omega$ -H "funciones más antiguas en $X$ dotado de la norma $$ \|f\|_\omega=\|f\|_\infty+\text{Hol}_\omega(f). $$ Es fácil ver que el espacio normado $(C^\omega(X),\|\cdot\|_{\omega})$ es un álgebra de Banach, es decir, es un espacio de Banach y se cumple la siguiente desigualdad $\|fg\|_\omega\leq \|f\|_\omega\|g\|_\omega$ , para todos $f,g \in C^\omega(X)$ .

Mi problema: Sea $X=[0,1]^{\mathbb{N}}$ equipado con la métrica del producto $d$ dada por: $$ d(x,y)=\sum_{i=1}^\infty \dfrac{|x_i-y_i|}{2^i} $$

Defina $f:X\to \mathbb{R}$ poniendo $f(x_1, x_2, \ldots )=x_1$ . Me gustaría demostrar que $f \in C^{\omega}(X)$ donde $ \omega(t)=\dfrac{t^\alpha}{|\log(t)|^\beta} $

Pude probar algo así al considerar $X=\{0,1\}^\mathbb{N}$ sin embargo cuando cambio $\{0,1\}$ al intervalo compacto $[0,1]$ mis cálculos no funcionan.

Answer 1

Esto depende de los valores de $\alpha$ y $\beta$ como menciona Ryszard Szwarc en los comentarios. De hecho, es cierto exactamente cuando hay algún $C>0$ con $t \leq C\omega(t)$ para todos $t \in [0,1]$ que es el caso cuando $\alpha \in [0,1)$ y $\beta \geq 0$ o $\alpha = 1$ y $\beta=0$ (suponiendo que ambos sean no negativos). De hecho, se puede comprobar fácilmente que $f$ está limitado por 1, mientras que si $t\leq C\omega(t)$ para $t \in [0,1]$ entonces para $x,y \in X$ $$|f(x)-f(y)| = |x_1-y_1| \leq 2d(x,y) \leq 2C\omega(d(x,y)).$$ Esto demuestra que $f \in C^{\omega}(X)$ con $\textrm{Hol}_{\omega}(f) \leq 2C$ .

Sin embargo, hay que tener un poco de cuidado, ya que su $\omega$ sólo satisface las condiciones establecidas de un módulo de continuidad localmente alrededor del origen, y no está bien definido en $t=1$ . Esto puede resolverse redefiniendo $\omega$ lejos del origen, lo que no afecta al argumento.

Edición: para mostrar que $t\leq C\omega(t)$ observe que se cumple para $t$ lejos de cero ya que $t$ está acotado y $\omega(t)$ está limitado por una constante positiva. Por lo tanto, basta con verificar que el límite $$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\omega(t)} = \lim_{t \to 0} t^{1-\alpha}|\log(t)|^\beta$$ es finito, lo que se cumple exactamente en las condiciones mencionadas anteriormente.