Tratando de demostrar, por inducción, que $2^{4n} + 5$ es divisible por $21.$

Question

Quiero mostrar por inducción

$$21 \mid (2^{4n}+5)$$

Eso supongo:

$2^{4k}+5= 21p$

para demostrar que $21 \mid 2^{4(k+1)}+5$

Así que lo entiendo:

$2^{4(k+1)}+5 = 2^{4k+4}+5 = 2^{4k}2^{4}+ 2^{4}2^{4k}+5 = 2^{4k} 16 +5$ =

$16(2^{4k} +5 -5 )+5 = 16(21p-5)+5 = 16 \cdot 21p - 80+5 = 16 \cdot 21p - 75$

Pero no es divisible por 21. ¿Qué hago mal?

Answer 1

Para $n=2$

$2^{4n}+5=256+5=261$

y

$261=21\times12+9$

por lo que su identidad no es cierta para $n=2$ .

Answer 2

** $$\color{red} {2^{12}=4096=21*195+1}$$ $$2^{12n+4}+5\equiv\\ 2^4 .2^{12n}+5 \equiv\\16.4096^n+5 \equiv\\16 (4095+1)^n+5\equiv\\16.(21.195+1)^n+5 \equiv \\ 16(1)^n+5 \equiv \\21\equiv0$$ así que $$21|2^{12n+4}+5\\n=0,1,2,3,4,5,...$$

Answer 3

La afirmación es cierta para $n=1$ . Supongamos que se cumple para $k$ : $2^{4k}+5=21p$ Así que $2^{4k}=21p-5$ Así que $$2^{4(k+1)}+5=2^{4k}\cdot 16+5= 16(21p-5)+5=21\cdot 16p-80+5=21\cdot16p-75$$ ¡Ops! Algo parece ir mal. Hemos comprobado que

si $21\mid 2^{4k}+5$ entonces $21\nmid 2^{4(k+1)}+5$

En realidad, $3\mid 2^{4n}+5$ (demuéstrelo), pero en general $7\nmid 2^{4n}+5$ ; en efecto, $$2^{4n}+5=16^n+5\equiv 2^n+5\equiv2^n-2\equiv2(2^{n-1}-1)\pmod{7}$$ Ahora $$\begin{align} 2^0-1&\equiv 0\pmod{7}\\ 2^1-1&\equiv 1\pmod{7}\\ 2^2-1&\equiv 3\pmod{7}\\ 2^3-1&\equiv 0\pmod{7} \end{align}$$ así que $2^{4n}+5$ es divisible por $7$ sólo si $3\mid(n-1)$ por lo tanto, cuando $n=3m+1$ para algunos $m$ .