Recursos sobre las variantes de las funciones de Clausen

Question

Estoy interesado en localizar más información sobre las funciones de Clausen. En concreto, estoy buscando las formas cerradas del tipo Gl (o tipo Sl, como se denominan a veces) y los análogos alternos de las funciones de Clausen de tipo Cl y Gl.

En otras palabras, estoy buscando las formas cerradas de:

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos(nx)}{n^m}}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{\cos(nx)}{n^m}}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin(nx)}{n^m}}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{\sin(nx)}{n^m}}$$

Hasta ahora he encontrado algunos ejemplos, en lugares como Mathworld, o Gradshteyn & Rhyzhik, o Abramowitz & Stegun. Ninguna de estas fuentes proporciona ni de lejos una colección completa de las funciones de Clausen y Clausen alternante en forma cerrada.

Esperaba que alguien supiera de algún artículo o libro que pudiera proporcionarme más información, especialmente sobre las Funciones Alternas de Clausen. ¡La ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Esto es lo que he encontrado: vamos a elegir el caso en el que $m\quad =\quad 2k\quad /\quad k\in Z\\ $ Como usted sabe: $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { t }^{ n } }{ { n }^{ m } } } \quad ={ Li }_{ m }(t)$

Sustituyamos $t={ e }^{ ix }$ :

$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { { e }^{ inx } } }{ { n }^{ m } } } \quad ={ Li }_{ m }({ e }^{ ix })$

También utilizaremos las siguientes identidades:

$$ { Li }_{ m }(z)\quad =\quad { (-1) }^{ m-1 }{ Li }_{ m }\left( \frac { 1 }{ z } \right) -\frac { { (2\pi i) }^{ m } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { ln(-z) }{ 2\pi i } +\frac { 1 }{ 2 } \right) /z\notin (0,1) \quad (1)\\ \Re ({ Li }_{ m }(z))\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( { Li }_{ m }(z)\quad +\quad { Li }_{ m }\left( \bar { z } \right) \right )\\ \Im \left( { Li }_{ m }(z) \right) \quad =\quad \frac { 1 }{ 2i } \left( { Li }_{ m }(z)-{ Li }_{ m }\left( \bar { z } \right) \right) $$

Así que..:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { \cos { (nx } ) }{ { n }^{ m } } \quad =\quad \Re \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { { e }^{ inx } } }{ { n }^{ m } } } \right) } \\ \qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad =\quad \Re \left( { Li }_{ m }\left( { e }^{ ix } \right) \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( { Li }_{ m }\left( { e }^{ ix } \right) +{ Li }_{ m }\left( { e }^{ -ix } \right) \right) $$ Y utilizando que m es incluso como suponíamos que obtenemos de $(1)$ :

$$ \frac { 1 }{ 2 } \left( { Li }_{ m }\left( { e }^{ ix } \right) +{ Li }_{ m }\left( { e }^{ -ix } \right) \right) \quad =\quad -\frac { 1 }{ 2 } \frac { { (2\pi i) }^{ m } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { ln(-{ e }^{ ix }) }{ 2\pi i } \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad -\frac { 1 }{ 2 } \frac { { (-1) }^{ \frac { m }{ 2 } }{ (2\pi ) }^{ m } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { i\left( x- \pi \right) }{ 2\pi i } \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad -\frac { 1 }{ 2 } \frac { { (-1) }^{ \frac { m }{ 2 } }{ (2\pi ) }^{ m } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { x }{ 2\pi } \right) $$ Así que obtenemos lo siguiente:

$$ \ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { \cos { \left( nx \right) } }{ { n }^{ m } } } =\quad -\frac { 1 }{ 2 } \frac { { (-1) }^{ \frac { m }{ 2 } }{ (2\pi ) }^{ m } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { x }{ 2\pi } \right) \quad /\quad m\quad =\quad 2k $$

Para la suma alternada:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n-1 }\cos { (nx) } }{ { n }^{ m } } } \quad =\quad -\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n }\cos { (nx) } }{ { n }^{ m } } } \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad =\quad -\Re \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n }{ e }^{ inx } }{ { n }^{ m } } } \right) \\ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\quad -\Re \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { \left( { -e }^{ ix } \right) }^{ n } }{ { n }^{ m } } } \right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad =-\Re \left( { Li }_{ m }\left( -{ e }^{ ix } \right) \right) $$

Calcularemos esto último tal y como lo hemos hecho:

$$ -\Re \left( { Li }_{ m }\left( -{ e }^{ ix } \right) \right) \quad =\quad -\frac { 1 }{ 2 } \left( { Li }_{ m }\left( { -e }^{ ix } \right) \quad +\quad { Li }_{ m }\left( { -e }^{ -ix } \right) \right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad =\quad \frac { -1 }{ 2 } \left(- \frac { { (2\pi i) }^{ m } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { ln\left( { e }^{ ix } \right) }{ 2\pi i } +\frac { 1 }{ 2 } \right) \right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { (2\pi ) }^{ m }{ (-1) }^{ \frac { m }{ 2 } } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { x }{ 2\pi } \right) \right) $$

Concluimos que:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n-1 }\cos { (nx) } }{ { n }^{ m } } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { (2\pi ) }^{ m }{ (-1) }^{ \frac { m }{ 2 } } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { x }{ 2\pi } \right) \right) / m = 2k $$ Ahora calculemos $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { \sin { (nx) } }{ { n }^{ m } } }$ pero para valores Impares de m utilizando las mismas identidades:

$m = 2k+1$

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { \sin { (nx) } }{ { n }^{ m } } } =\Im \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { e }^{ inx } }{ { n }^{ m } } } \right) \\ \qquad \qquad \qquad \quad \quad =\quad \Im \left( { Li }_{ m }\left( { e }^{ ix } \right) \right) \\ \qquad \qquad \qquad \quad \quad =\quad \frac { 1 }{ 2i } \left( { Li }_{ m }\left( { e }^{ ix } \right) -{ Li }_{ m }\left( { e }^{ -ix } \right) \right) $$

Así que usando $(1)$ tenemos:

$$ \frac { 1 }{ 2i } \left( { Li }_{ m }\left( { e }^{ ix } \right) -{ Li }_{ m }\left( { e }^{ -ix } \right) \right) \quad =\quad \frac { 1 }{ 2i } \left( \frac { -{ (2\pi i) }^{ m } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { ln(-{ e }^{ ix }) }{ 2\pi i } \right) \right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\quad -\frac { 1 }{ 2i } \left( \frac { { (2\pi ) }^{ m }{ (i) }^{ m } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { i(x-\pi ) }{ 2\pi i } \right) \right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\quad -\frac { 1 }{ 2i } \left( \frac { { (2\pi ) }^{ m }{ (i) }^{ 2k+1 } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { x }{ 2\pi } \right) \right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\quad -\frac { 1 }{ 2i } \left( \frac { { (2\pi ) }^{ m }i{ (-1) }^{ k } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { x }{ 2\pi } \right) \right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\quad -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { (2\pi ) }^{ m }{ (-1) }^{ \frac { m-1 }{ 2 } } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { x }{ 2\pi } \right) \right) $$

Así que nuestra suma es:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { \sin { (nx) } }{ { n }^{ m } } } = \quad -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { (2\pi ) }^{ m }{ (-1) }^{ \frac { m-1 }{ 2 } } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { x }{ 2\pi } \right) \right) \quad m = 2k+1 $$

Y para la suma alternada es la misma técnica:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n-1 }\sin { (nx) } }{ { n }^{ m } } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { (2\pi ) }^{ m }{ (-1) }^{ \frac { m-1 }{ 2 } } }{ m! } { B }_{ m }\left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { x }{ 2\pi } \right) \right) $$

Esto es todo lo que puedo hacer por el momento, intentaré encontrar la suma también para otros valores.

Referencia:

• Sobre una propiedad del polilogaritmo
• http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/PolyLog/17/ShowAll.html