Límite de $\frac{y^4\sin(x)}{x^2+y^4}$ cuando $(x,y) \to (0,0)$

Question

Tengo que encontrar el siguiente límite cuando $x,y$ tienden a $0$ . I piense en el límite no existe (gracias a Wolfram Alpha), pero lo único que encuentro sea cual sea la ruta que utilice (he probado con $y=x², x=y^2, x=0, y=0$ ) es que el límite es igual a $0$ (debido a la $sin(0)$ ). ¿Algún consejo?

$$\frac{y^4\sin(x)}{x^2+y^4}$$

Answer 1

Utilizando AM-GM obtenemos $$\frac{x^2+y^4}{2}\geq |x|y^2$$ así que $$\frac{y^4|x|}{x^2+y^4}\le \frac{y^2}{2}$$ y tiende a cero si $y$ tiende a cero. También hemos utilizado que $$|\sin(x)|\le 1$$

Answer 2

Sea $|x|,|y| <1$ , $x,y$ real.

$0\le \left | \dfrac{y^4 \sin x }{x^2+y^4} \right | \le $

$\dfrac{y^4|x|}{x^4 + y^4} \le$

$\dfrac{(y^4+x^4)|x|}{x^4+ y^4}= |x| \le \sqrt{x^2+y^2}.$

Elija $\delta =\epsilon.$

Usado : $|\sin x| \le |x|$

Answer 3

Tenemos que

$$\frac{y^4\sin x}{x^2+y^4}=\frac{\sin x}{x}\frac{y^4x}{x^2+y^4}$$

entonces recuerda que $\frac{\sin x}{x}\to 1$ .

Para demostrar que $\frac{y^4x}{x^2+y^4} \to 0$ podemos utilizar desigualdades o como alternativa por $u=x$ y $v=y^2$

$$\frac{y^4x}{x^2+y^4}=\frac{uv^2}{u^2+v^2}=r\cos \theta\sin^2 \theta \to 0$$